Страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите геометрическое место вершин $C$ треугольников, равновеликих данному треугольнику $ABC$ и имеющих с ним общую сторону $AB$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания для всех рассматриваемых треугольников выберем их общую сторону $AB$. Площадь данного треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C$, где $h_C$ — это высота, опущенная из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$.

Пусть $C'$ — вершина любого другого треугольника $ABC'$, который равновелик данному (то есть имеет такую же площадь) и имеет с ним общую сторону $AB$. Его площадь $S_{ABC'}$ равна $S_{ABC'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C'}$, где $h_{C'}$ — высота, опущенная из вершины $C'$ на прямую $AB$.

По условию задачи, площади этих треугольников равны: $S_{ABC} = S_{ABC'}$.

Приравнивая выражения для площадей, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{C'}$

Поскольку $AB$ — сторона треугольника, ее длина не равна нулю ($AB > 0$), мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2} \cdot AB$, что дает нам:

$h_C = h_{C'}$

Это равенство означает, что любая искомая вершина $C'$ должна быть удалена от прямой, содержащей основание $AB$, на то же расстояние, что и исходная вершина $C$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, — это пара прямых, параллельных данной прямой и находящихся от нее на заданном расстоянии.

Следовательно, искомое геометрическое место вершин $C$ состоит из двух прямых, параллельных прямой $AB$ и отстоящих от нее на расстояние $h_C$. Одна из этих прямых проходит через саму точку $C$. Вторая прямая находится по другую сторону от прямой $AB$ и симметрична первой относительно прямой $AB$. Точки, лежащие на самой прямой $AB$, не входят в это множество, так как в этом случае треугольник вырождается в отрезок. Это условие выполняется автоматически, так как для невырожденного треугольника $ABC$ высота $h_C > 0$, поэтому найденные параллельные прямые не совпадают с прямой $AB$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные прямой $AB$, одна из которых проходит через вершину $C$, а другая симметрична ей относительно прямой $AB$.

19. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника (рис. 21.10).

Рис. 21.10

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $h$. Возьмем произвольную точку $G$ внутри этого треугольника, как показано на рисунке. Обозначим расстояния от точки $G$ до сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $GF$, $GD$ и $GE$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, поэтому $GF \perp AB$, $GD \perp BC$ и $GE \perp AC$.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что сумма этих расстояний является постоянной величиной и равна высоте треугольника, то есть $GF + GD + GE = h$.

Для доказательства используем метод площадей. Соединим точку $G$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. В результате треугольник $ABC$ будет разделен на три меньших треугольника: $\triangle AGB$, $\triangle BGC$ и $\triangle CGA$.

Площадь большого треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников: $S_{ABC} = S_{AGB} + S_{BGC} + S_{CGA}$.

С одной стороны, площадь треугольника $ABC$ можно вычислить по стандартной формуле через основание и высоту. Пусть $h$ - высота треугольника $ABC$, проведенная, например, к стороне $AB$. Так как треугольник равносторонний, все его стороны равны $a$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} a h$.

С другой стороны, вычислим площади трех меньших треугольников. Для каждого из них сторона большого треугольника ($AB$, $BC$ или $AC$) будет служить основанием, а перпендикуляр, опущенный из точки $G$ на эту сторону, — соответствующей высотой.

Площадь треугольника $AGB$ с основанием $AB=a$ и высотой $GF$: $S_{AGB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot GF = \frac{1}{2} a \cdot GF$.

Площадь треугольника $BGC$ с основанием $BC=a$ и высотой $GD$: $S_{BGC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot GD = \frac{1}{2} a \cdot GD$.

Площадь треугольника $CGA$ с основанием $AC=a$ и высотой $GE$: $S_{CGA} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot GE = \frac{1}{2} a \cdot GE$.

Теперь подставим выражения для всех площадей в исходное равенство: $S_{ABC} = S_{AGB} + S_{BGC} + S_{CGA}$ $\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a \cdot GF + \frac{1}{2} a \cdot GD + \frac{1}{2} a \cdot GE$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a$ за скобки в правой части уравнения: $\frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} a (GF + GD + GE)$

Поскольку длина стороны треугольника $a$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$: $h = GF + GD + GE$

Высота $h$ в данном равностороннем треугольнике — это постоянная величина (она зависит только от длины стороны $a$). Следовательно, мы доказали, что сумма расстояний от любой внутренней точки до сторон равностороннего треугольника постоянна и равна высоте этого треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника.

20. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 и 4.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, используется формула $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ – катеты, а $c$ – гипотенуза треугольника.

Согласно условию, катеты треугольника равны 3 и 4. Обозначим их как $a = 3$ и $b = 4$.

Первым шагом найдем длину гипотенузы $c$, используя теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Подставим значения катетов в формулу:

$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

Отсюда находим гипотенузу: $c = \sqrt{25} = 5$.

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления радиуса вписанной окружности: $a=3$, $b=4$, $c=5$.

Подставим эти значения в формулу для радиуса:

$r = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

21. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, основание которого равно 3, а высота, опущенная на это основание, равна 2.

Для нахождения радиуса вписанной окружности $r$ воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем площадь треугольника.

Пусть нам дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 3$ и высотой $BH = 2$, опущенной на это основание.

Площадь треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.

2. Найдем боковую сторону треугольника.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание $AC$ на два равных отрезка: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $BC$ (гипотенузу):

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

$BC^2 = 2^2 + (1.5)^2 = 4 + 2.25 = 6.25$

$BC = \sqrt{6.25} = 2.5$.

Так как треугольник равнобедренный, то $AB = BC = 2.5$.

3. Найдем полупериметр треугольника.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = AB + BC + AC = 2.5 + 2.5 + 3 = 8$.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

4. Найдем радиус вписанной окружности.

Теперь, зная площадь $S = 3$ и полупериметр $p = 4$, мы можем найти радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{p} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: $0.75$

22. Какую часть от площади треугольника $ABC$ составляет площадь закрашенной фигуры (рис. 21.11)?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 21.11

Для решения всех подпунктов задачи будем использовать два основных свойства площадей треугольников:

1. Если два треугольника имеют общий угол, то отношение их площадей равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Например, для $\triangle ABC$ и $\triangle APQ$ с общим углом $A$, где $P$ на $AB$ и $Q$ на $AC$, справедливо: $\frac{S_{APQ}}{S_{ABC}} = \frac{AP \cdot AQ}{AB \cdot AC}$.

2. Если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению длин оснований, к которым проведена эта высота. Например, если у $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ общая высота из вершины $B$, то $\frac{S_{ABM}}{S_{CBM}} = \frac{AM}{CM}$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S$.

а) Закрашенная фигура - это треугольник, у которого одна вершина совпадает с вершиной $A$ треугольника $ABC$, а две другие ($A_1$ и $C_1$) лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. По отметкам на сторонах, $A_1$ - середина $AB$ и $C_1$ - середина $AC$. Таким образом, $AA_1 = \frac{1}{2}AB$ и $AC_1 = \frac{1}{2}AC$.

Треугольники $\triangle AA_1C_1$ и $\triangle ABC$ имеют общий угол $A$. Отношение их площадей равно отношению произведений сторон, образующих этот угол:

$\frac{S_{AA_1C_1}}{S} = \frac{AA_1 \cdot AC_1}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot \frac{1}{2}AC}{AB \cdot AC} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, площадь закрашенной фигуры составляет $\frac{1}{4}$ от площади треугольника $ABC$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Закрашенная фигура - это треугольник $A_1B_1C_1$, вершины которого, судя по отметкам, являются серединами сторон треугольника $ABC$: $A_1$ - середина $BC$, $B_1$ - середина $AC$, $C_1$ - середина $AB$. Такой треугольник называется срединным.

Срединный треугольник отсекает от исходного треугольника три малых треугольника по углам: $\triangle AC_1B_1$, $\triangle C_1BA_1$ и $\triangle B_1A_1C$. Площадь каждого из них, по принципу, разобранному в пункте а), равна $\frac{1}{4}S$.

Площадь закрашенного треугольника $A_1B_1C_1$ можно найти, вычтя из площади $S$ площади трех угловых треугольников:

$S_{A_1B_1C_1} = S - S_{AC_1B_1} - S_{C_1BA_1} - S_{B_1A_1C} = S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S = S \cdot \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{1}{4}S$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

в) Закрашенная фигура - это четырехугольник $A_1CB_1C_1$. Определим положение точек на сторонах по отметкам:

Точка $C_1$ на стороне $AB$: $AC_1:C_1B = 2:1$, откуда $AC_1 = \frac{2}{3}AB$ и $C_1B = \frac{1}{3}AB$.

Точка $A_1$ на стороне $AC$: $AA_1:A_1C = 1:2$, откуда $AA_1 = \frac{1}{3}AC$.

Точка $B_1$ на стороне $BC$: $CB_1 = B_1B$, то есть $B_1$ - середина $BC$, и $BB_1 = \frac{1}{2}BC$.

Площадь закрашенной фигуры найдем, вычтя из площади $S$ площади двух незакрашенных треугольников: $\triangle AC_1A_1$ и $\triangle C_1BB_1$.

Площадь $\triangle AC_1A_1$ (общий угол $A$ с $\triangle ABC$): $\frac{S_{AC_1A_1}}{S} = \frac{AC_1 \cdot AA_1}{AB \cdot AC} = \frac{\frac{2}{3}AB \cdot \frac{1}{3}AC}{AB \cdot AC} = \frac{2}{9}$.

Площадь $\triangle C_1BB_1$ (общий угол $B$ с $\triangle ABC$): $\frac{S_{C_1BB_1}}{S} = \frac{C_1B \cdot BB_1}{AB \cdot BC} = \frac{\frac{1}{3}AB \cdot \frac{1}{2}BC}{AB \cdot BC} = \frac{1}{6}$.

Площадь закрашенной фигуры: $S_{закр} = S - S_{AC_1A_1} - S_{C_1BB_1} = S - \frac{2}{9}S - \frac{1}{6}S = S \cdot \left(1 - \frac{2}{9} - \frac{1}{6}\right) = S \cdot \left(\frac{18 - 4 - 3}{18}\right) = \frac{11}{18}S$.

Ответ: $\frac{11}{18}$

г) Закрашенная фигура - это треугольник $CC_1B$. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$.

По отметкам на стороне $AB$ имеем соотношение $AC_1:C_1B = 1:2$, откуда следует, что $C_1B = \frac{2}{3}AB$.

Треугольники $CC_1B$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $C$ к прямой $AB$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{CC_1B}}{S} = \frac{C_1B}{AB} = \frac{\frac{2}{3}AB}{AB} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

д) Закрашенная фигура - это треугольник $BB_1A_1$.

Определим положение точек по отметкам: точка $A_1$ на стороне $BC$ такова, что $BA_1:A_1C = 1:2$, значит $A_1C = \frac{2}{3}BC$. Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, то есть $B_1C = \frac{1}{2}AC$.

Площадь закрашенной фигуры найдем, вычтя из площади $S$ площади двух незакрашенных треугольников: $\triangle ABB_1$ и $\triangle A_1B_1C$.

Площадь $\triangle ABB_1$: треугольники $\triangle ABB_1$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту из вершины $B$. Отношение их площадей равно отношению оснований: $\frac{S_{ABB_1}}{S} = \frac{AB_1}{AC} = \frac{1}{2}$.

Площадь $\triangle A_1B_1C$: треугольники $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$ имеют общий угол $C$. Отношение их площадей равно: $\frac{S_{A_1B_1C}}{S} = \frac{CA_1 \cdot CB_1}{CB \cdot CA} = \frac{\frac{2}{3}BC \cdot \frac{1}{2}AC}{BC \cdot AC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$.

Площадь закрашенной фигуры: $S_{закр} = S - S_{ABB_1} - S_{A_1B_1C} = S - \frac{1}{2}S - \frac{1}{3}S = S \cdot \left(1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = S \cdot \left(\frac{6 - 3 - 2}{6}\right) = \frac{1}{6}S$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

е) Закрашенная фигура - это треугольник $BA_1C_1$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на стороне $AC$.

По отметкам на стороне $AC$ видно, что $AA_1 = A_1C_1 = C_1C$. Это означает, что сторона $AC$ разделена на три равные части, и длина основания закрашенного треугольника $A_1C_1$ составляет $\frac{1}{3}$ длины стороны $AC$.

Треугольники $BA_1C_1$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{BA_1C_1}}{S} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{\frac{1}{3}AC}{AC} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

23. Сравните площади треугольников, изображенных на рисунках (рис. 21.12, 21.13).

Рис. 21.12

Рис. 21.13

Для того чтобы сравнить площади треугольников, изображенных на рисунках, необходимо вычислить сумму площадей всех треугольников на каждом рисунке. За единицу длины примем сторону одной клетки на сетке.

Рис. 21.12

На этом рисунке изображены четыре треугольника. Все они имеют общую вершину и, следовательно, общую высоту. Их основания лежат на одной прямой. Так как эти треугольники не пересекаются, общая площадь фигуры, которую они образуют, равна сумме их площадей.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, $h$ — высота.

Высота всех четырех треугольников одинакова и равна $h = 3$ единицы.

Основания треугольников (слева направо) равны: $b_1 = 3$, $b_2 = 1$, $b_3 = 1$, $b_4 = 2$ единицы.

Найдем сумму площадей $S_{12}$ всех треугольников:

$S_{12} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{2}b_1h + \frac{1}{2}b_2h + \frac{1}{2}b_3h + \frac{1}{2}b_4h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$S_{12} = \frac{1}{2}h(b_1 + b_2 + b_3 + b_4)$

Подставим числовые значения:

$S_{12} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3 + 1 + 1 + 2) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 7 = 10,5$ квадратных единиц.

Рис. 21.13

На этом рисунке изображены четыре треугольника. Все они имеют общее основание, но разные высоты. Треугольники пересекаются, но для сравнения мы найдем сумму их площадей.

Длина общего основания всех четырех треугольников равна $a = 3$ единицы.

Высоты треугольников равны: $h_1 = 3$, $h_2 = 4$, $h_3 = 4$, $h_4 = 3$ единицы.

Найдем сумму площадей $S_{13}$ всех треугольников:

$S_{13} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{2}ah_1 + \frac{1}{2}ah_2 + \frac{1}{2}ah_3 + \frac{1}{2}ah_4$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:

$S_{13} = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3 + h_4)$

Подставим числовые значения:

$S_{13} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3 + 4 + 4 + 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 14 = 21$ квадратная единица.

Сравнение площадей

Теперь сравним вычисленные суммарные площади треугольников для каждого рисунка:

Сумма площадей на рис. 21.12: $S_{12} = 10,5$ кв. ед.

Сумма площадей на рис. 21.13: $S_{13} = 21$ кв. ед.

Найдем отношение этих площадей: $\frac{S_{13}}{S_{12}} = \frac{21}{10,5} = 2$.

Таким образом, $S_{13} = 2 \cdot S_{12}$.

Ответ: Сумма площадей треугольников, изображенных на рисунке 21.13, в два раза больше суммы площадей треугольников, изображенных на рисунке 21.12.

24. Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности, причем точки $A$ и $C$ зафиксированы, а точка $B$ движется по дуге $AC$ от $A$ к $C$ (рис. 21.14). Как при этом меняется площадь треугольника $ABC$?

Рис. 21.14

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

В качестве основания треугольника $ABC$ выберем сторону $AC$. Так как по условию точки $A$ и $C$ зафиксированы, то длина основания $AC$ является постоянной величиной.

Таким образом, площадь треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$, где $h_B$ — это высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$. Поскольку длина $AC$ не меняется, площадь треугольника зависит только от высоты $h_B$. Чем больше высота, тем больше площадь.

Высота $h_B$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $AC$. Когда точка $B$ начинает движение от точки $A$, она удаляется от прямой $AC$. Расстояние $h_B$ (и, следовательно, площадь) увеличивается. Это расстояние будет максимальным, когда точка $B$ достигнет середины дуги $AC$. В этот момент треугольник $ABC$ будет равнобедренным с основанием $AC$ ($AB=BC$), а его площадь будет наибольшей.

При дальнейшем движении точки $B$ от середины дуги к точке $C$, она начинает приближаться к прямой $AC$. Расстояние $h_B$ (и площадь) начинает уменьшаться. Когда точка $B$ совпадет с точкой $C$, высота $h_B$ станет равной нулю, и площадь треугольника также станет равной нулю.

Ответ: При движении точки B от A к C площадь треугольника ABC сначала возрастает от нуля до максимального значения, которое достигается, когда B находится в середине дуги AC, а затем убывает от максимального значения до нуля.