Страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Основания трапеции равны 14 и 20. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции (рис. 10.7). Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции.

Рис. 10.7

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD, причем $AB = 20$ и $CD = 14$. На боковой стороне AD отмечены точки F и E так, что сторона разделена на три равные части: $DF = FE = EA$. Через точки F и E проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Эти прямые пересекают боковую сторону BC в точках G и H соответственно. Требуется найти длины отрезков FG и EH.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую, параллельную боковой стороне AD, до пересечения с основанием AB в точке K. Эта прямая пересечет отрезки FG и EH в точках P и Q соответственно.

Рассмотрим четырехугольник AKCD. Поскольку сторона AK лежит на прямой AB, а сторона CD является основанием трапеции, то $AK \parallel CD$. По построению $CK \parallel AD$. Следовательно, AKCD — параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что длины его противоположных сторон равны: $AK = CD = 14$.

Теперь мы можем найти длину отрезка KB на основании AB:$KB = AB - AK = 20 - 14 = 6$.

Рассмотрим треугольник CKB. Отрезки PG и QH являются частями прямых FG и EH, которые по условию параллельны основанию AB, а значит, и его части KB. Таким образом, $PG \parallel KB$ и $QH \parallel KB$.

Поскольку по построению прямая $CK \parallel AD$, а параллельные прямые FG и EH отсекают на стороне AD равные отрезки ($DF = FE = EA$), то по теореме Фалеса они отсекают на прямой CK также равные между собой отрезки: $CP = PQ = QK$. Таким образом, сторона CK треугольника $\triangle CKB$ разделена на три равные части.

Из подобия треугольников $\triangle CPG$ и $\triangle CKB$ (по двум углам, так как $PG \parallel KB$) следует:$\frac{PG}{KB} = \frac{CP}{CK}$Поскольку $CK = CP + PQ + QK = 3CP$, получаем:$PG = KB \cdot \frac{CP}{3CP} = \frac{1}{3}KB = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Аналогично, из подобия треугольников $\triangle CQH$ и $\triangle CKB$ следует:$\frac{QH}{KB} = \frac{CQ}{CK}$Поскольку $CQ = CP + PQ = 2CP$, получаем:$QH = KB \cdot \frac{CQ}{CK} = KB \cdot \frac{2CP}{3CP} = \frac{2}{3}KB = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$.

Теперь найдем полные длины искомых отрезков FG и EH.Рассмотрим четырехугольник AKPF. Его стороны AK и FP лежат на параллельных прямых AB и FG. Стороны AF и KP лежат на параллельных прямых AD и CK. Следовательно, AKPF — параллелограмм, и $FP = AK = 14$.Длина отрезка FG равна:$FG = FP + PG = 14 + 2 = 16$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник AKQE. Его стороны AK и EQ лежат на параллельных прямых AB и EH. Стороны AE и KQ лежат на параллельных прямых AD и CK. Следовательно, AKQE — параллелограмм, и $EQ = AK = 14$.Длина отрезка EH равна:$EH = EQ + QH = 14 + 4 = 18$.

Ответ: длины отрезков, заключенных внутри трапеции, равны 16 и 18.

17. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности оснований.

Рассмотрим трапецию ABCD, в которой AD и BC являются основаниями ($AD \parallel BC$), а AC и BD — диагоналями. Пусть точка M — середина диагонали AC, а точка N — середина диагонали BD. Нам нужно доказать, что отрезок MN параллелен основаниям AD и BC, и его длина равна полуразности длин этих оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Отметим на боковой стороне AB её середину, точку K.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок KN соединяет середины сторон AB и BD. Следовательно, KN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок KN параллелен стороне AD и равен её половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

Аналогичным образом, в треугольнике $ABC$ отрезок KM соединяет середины сторон AB и AC. Следовательно, KM является его средней линией. По свойству средней линии, $KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку основания трапеции по определению параллельны ($AD \parallel BC$), а отрезки KN и KM параллельны соответствующим основаниям ($KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$), то отрезки KN и KM параллельны друг другу (оба параллельны AD). Так как они исходят из одной точки K, они должны лежать на одной прямой. Следовательно, точки K, M и N лежат на одной прямой.

Так как прямая, проходящая через точки K, M, N, параллельна основаниям AD и BC, то и отрезок MN, являющийся её частью, также параллелен основаниям трапеции. Первая часть утверждения доказана.

Теперь найдем длину отрезка MN. Поскольку точки K, M, N лежат на одной прямой, длина отрезка MN равна модулю разности длин отрезков KN и KM. Для определенности будем считать, что AD — большее основание ($AD > BC$), тогда и $KN > KM$. Длина отрезка MN вычисляется как $MN = KN - KM$.

Подставим найденные ранее выражения для длин KN и KM:$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям и равен их полуразности.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, а его длина равна полуразности длин оснований: $MN = \frac{|AD - BC|}{2}$.

18. Может ли средняя линия трапеции пройти через точку пересечения диагоналей?

Да, это возможно в том случае, если трапеция является параллелограммом.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Средняя линия $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$.

1. Свойство средней линии. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и находится на равном расстоянии от каждого из них. Если высота трапеции равна $H$, то расстояние от средней линии до каждого из оснований равно $H/2$.

2. Свойство точки пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Они подобны по двум углам, так как:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Пусть $h_1$ — высота треугольника $\triangle COB$, проведенная из вершины $O$ к основанию $BC$, а $h_2$ — высота треугольника $\triangle AOD$, проведенная из вершины $O$ к основанию $AD$. Из подобия треугольников следует, что отношение их высот равно отношению их оснований (коэффициенту подобия):

$\frac{h_1}{h_2} = \frac{BC}{AD}$

3. Условие, при котором точка $O$ лежит на средней линии. Чтобы точка пересечения диагоналей $O$ лежала на средней линии $MN$, она должна быть равноудалена от оснований $AD$ и $BC$. Это означает, что должно выполняться равенство $h_1 = h_2$.

4. Вывод. Если $h_1 = h_2$, то из соотношения $\frac{h_1}{h_2} = \frac{BC}{AD}$ следует, что $\frac{BC}{AD} = 1$, то есть $BC = AD$.

Трапеция, у которой основания равны, является параллелограммом. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, и точка их пересечения действительно лежит на средней линии.

Таким образом, средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей тогда и только тогда, когда эта трапеция является параллелограммом. Поскольку вопрос "Может ли...", который предполагает существование хотя бы одного такого случая, а параллелограмм является частным случаем трапеции, то ответ — да.

Ответ: Да, может, если трапеция является параллелограммом.

19. Пользуясь линейкой без делений, постройте среднюю линию трапеции $ABCD$ (рис. 10.8).

Рис. 10.8

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины её боковых (непараллельных) сторон. Чтобы построить среднюю линию трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, необходимо найти середины боковых сторон $AB$ и $CD$. Это можно сделать с помощью линейки без делений, используя свойства трапеции и параллельных прямых. Наличие клетчатой бумаги упрощает построение параллельных прямых.

Существует несколько способов построения. Приведём один из наиболее наглядных, основанный на известной теореме о трапеции.

Построение:

1. Найдём середину одного из оснований, например, $AD$. Для этого выполним следующие действия:
а) С помощью линейки продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$.
б) Проведём диагонали трапеции $AC$ и $BD$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.
в) Проведём прямую через точки $P$ и $O$. Согласно теореме о трапеции, эта прямая пересекает оба основания в их серединах. Обозначим точку пересечения прямой $PO$ с основанием $AD$ как $L$. Точка $L$ является серединой основания $AD$.

2. Найдём середину одной из диагоналей, например, $AC$.
Рассмотрим треугольник $ADC$. Мы уже нашли точку $L$ — середину его стороны $AD$. Проведём через точку $L$ прямую, параллельную стороне $CD$. По теореме Фалеса (или свойству средней линии треугольника), эта прямая пересечёт сторону $AC$ в её середине. Обозначим эту точку как $M_{AC}$.

3. Построим среднюю линию.
Известно, что средняя линия трапеции проходит через середины её диагоналей. Поскольку мы нашли точку $M_{AC}$ — середину диагонали $AC$, — мы можем провести через неё прямую, параллельную основаниям $AD$ и $BC$. Эта прямая и будет являться искомой средней линией трапеции. Отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами $AB$ и $CD$, является средней линией трапеции.

Ответ: Искомая средняя линия построена на втором рисунке. Построение основано на нахождении середины одного из оснований с помощью точки пересечения диагоналей и точки пересечения продолжений боковых сторон, последующем нахождении середины диагонали и проведении через неё прямой, параллельной основаниям.

20. Три дома $A, B, C$ расположены вдоль одной прямой на разных расстояниях от прямолинейной дороги, причем $AB = BC$ (рис. 10.9). На каком расстоянии от дороги находится средний дом, если два крайних дома удалены от нее соответственно на 72 м и 54 м?

Рис. 10.9

Для решения этой задачи представим ситуацию в виде геометрической модели. Пусть прямая дорога будет одной прямой линией, а линия, вдоль которой расположены дома A, B, и C — другой прямой. Расстояние от дома до дороги — это длина перпендикуляра от точки, обозначающей дом, до прямой, обозначающей дорогу.

Опустим перпендикуляры из точек A, B и C на прямую дороги. Обозначим основания этих перпендикуляров как A', B' и C'. Тогда длины отрезков AA', BB' и CC' — это искомые расстояния. По условию, нам даны расстояния для крайних домов A и C. Пусть $AA' = 72$ м и $CC' = 54$ м.

Поскольку все три перпендикуляра (AA', BB', CC') перпендикулярны одной и той же прямой (дороге), они параллельны друг другу. Фигура, образованная точками A, C, C', A', является трапецией, где AA' и CC' — это параллельные основания, а AC и A'C' — боковые стороны.

В условии сказано, что $AB = BC$. Это означает, что точка B является серединой отрезка AC, который является одной из боковых сторон трапеции ACC'A'. Отрезок BB', который представляет расстояние от среднего дома до дороги, параллелен основаниям трапеции и соединяет середину боковой стороны AC с другой боковой стороной A'C'. Следовательно, BB' является средней линией трапеции ACC'A'.

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований. Таким образом, мы можем найти расстояние от дома B до дороги:

$BB' = \frac{AA' + CC'}{2}$

Подставим известные значения:

$BB' = \frac{72 + 54}{2} = \frac{126}{2} = 63$ м.

Ответ: 63 м.

21. Изобразите угол. Отложите на одной его стороне несколько равных отрезков. Проведите через их концы параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла. Что можно сказать об отрезках, которые отсекаются этими прямыми на второй стороне угла?

Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить геометрическое построение и применить теорему Фалеса.

1. Построение

Сначала изобразим произвольный угол. Назовем его вершину точкой $O$, а его стороны — лучами $a$ и $b$.
На стороне $a$ отложим от вершины $O$ несколько равных отрезков. Обозначим концы этих отрезков точками $A_1, A_2, A_3, \dots$ Таким образом, по построению мы имеем: $OA_1 = A_1A_2 = A_2A_3 = \dots$
Теперь через точки $A_1, A_2, A_3, \dots$ проведем серию параллельных прямых так, чтобы они пересекали вторую сторону угла, луч $b$. Пусть точки пересечения этих прямых со стороной $b$ будут соответственно $B_1, B_2, B_3, \dots$ Таким образом, мы имеем $A_1B_1 \parallel A_2B_2 \parallel A_3B_3 \parallel \dots$

2. Применение теоремы Фалеса и вывод

Ситуация, описанная в задаче, является классическим примером применения теоремы Фалеса.
Теорема Фалеса гласит: если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые (в нашем случае — стороны угла), отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой прямой.
В нашем построении:

• Стороны угла $a$ и $b$ являются двумя пересекающимися прямыми.
• Прямые $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3, \dots$ являются параллельными прямыми.
• На стороне $a$ эти прямые (вместе с точкой $O$) отсекают равные отрезки $OA_1, A_1A_2, A_2A_3, \dots$ по нашему условию.

Следовательно, согласно теореме Фалеса, на второй стороне угла, $b$, эти параллельные прямые также отсекут равные между собой отрезки.
Давайте это докажем для первых нескольких отрезков. Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$. Поскольку прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны по построению, то эти треугольники подобны (угол при вершине $O$ у них общий, а углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_2B_2$ равны как соответственные).
Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{OA_2}{OA_1}$.
По нашему построению, $OA_1 = A_1A_2$, значит $OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = 2 \cdot OA_1$.
Таким образом, $k = \frac{2 \cdot OA_1}{OA_1} = 2$.
Из подобия треугольников следует, что отношение других сторон также равно $k$: $\frac{OB_2}{OB_1} = 2$, откуда $OB_2 = 2 \cdot OB_1$.
Так как отрезок $OB_2$ состоит из двух частей, $OB_1$ и $B_1B_2$, мы можем записать: $OB_2 = OB_1 + B_1B_2$.
Подставляя найденное значение, получаем: $2 \cdot OB_1 = OB_1 + B_1B_2$, что означает $B_1B_2 = OB_1$.
Проводя аналогичные рассуждения для треугольников $\triangle OA_3B_3$ и $\triangle OA_2B_2$, можно доказать, что $B_2B_3 = OB_1$, и так далее для всех последующих отрезков.

Таким образом, мы приходим к выводу, что отрезки, отсекаемые параллельными прямыми на второй стороне угла, не просто равны между собой, но в данном случае они также равны первому отрезку, отложенному от вершины.
$OB_1 = B_1B_2 = B_2B_3 = \dots$

Ответ: Отрезки, которые отсекаются этими параллельными прямыми на второй стороне угла, будут равны между собой.