Страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном расстоянии от прямой, на которой лежит средняя линия этого треугольника (рис. 8.4).

Пусть дан треугольник $ABC$. Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Возьмем, к примеру, среднюю линию $DE$, где точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Пусть прямая $l$ проходит через точки $D$ и $E$.

Нам необходимо доказать, что расстояния от вершин $A, B, C$ до прямой $l$ равны. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Опустим перпендикуляры из вершин $A, B$ и $C$ на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Таким образом, $AA_1 \perp l$, $BB_1 \perp l$ и $CC_1 \perp l$. Наша задача — доказать, что длины этих перпендикуляров равны: $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Доказательство:

1. Сравним расстояния от вершин $A$ и $C$ до прямой $l$, то есть длины отрезков $AA_1$ и $CC_1$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1D$ и $\triangle CC_1D$.

• Оба треугольника являются прямоугольными, поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — перпендикуляры к прямой $l$, а значит $\angle AA_1D = \angle CC_1D = 90^\circ$.
• Гипотенузы этих треугольников равны: $AD = CD$, так как по определению средней линии точка $D$ является серединой стороны $AC$.
• Углы $\angle A_1DA$ и $\angle C_1DC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $l$.

2. Сравним расстояния от вершин $B$ и $C$ до прямой $l$, то есть длины отрезков $BB_1$ и $CC_1$.
Рассмотрим треугольники $\triangle BB_1E$ и $\triangle CC_1E$.

• Оба треугольника являются прямоугольными, так как $\angle BB_1E = \angle CC_1E = 90^\circ$.
• Гипотенузы этих треугольников равны: $BE = CE$, так как по определению средней линии точка $E$ является серединой стороны $BC$.
• Углы $\angle B_1EB$ и $\angle C_1EC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $l$.

Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, имеем:$AA_1 = CC_1$ и $BB_1 = CC_1$.Отсюда следует, что $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Доказательство для двух других средних линий треугольника проводится аналогично. Следовательно, утверждение верно для любой средней линии треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Вершины треугольника действительно находятся на равном расстоянии от прямой, на которой лежит любая из его средних линий.

14. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Как будет расположена прямая, равноудаленная от этих точек? Сколько существует таких прямых?

Пусть данные три точки, не лежащие на одной прямой, — это $A$, $B$ и $C$. Они образуют вершины треугольника $ABC$. Искомая прямая $l$ должна быть равноудалена от этих трех точек, то есть расстояния от точек $A$, $B$ и $C$ до прямой $l$ должны быть равны.

Рассмотрим возможные варианты расположения точек относительно прямой $l$.

1. Все три точки лежат по одну сторону от прямой $l$.
Если бы точки $A$, $B$ и $C$ были равноудалены от прямой $l$ и находились по одну сторону от нее, они должны были бы лежать на другой прямой, параллельной $l$. Это противоречит условию задачи, согласно которому точки не принадлежат одной прямой. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Две точки лежат по одну сторону от прямой $l$, а третья — по другую.
Допустим, точки $A$ и $B$ находятся по одну сторону от прямой $l$, а точка $C$ — по другую.

• Поскольку точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $l$ и лежат по одну сторону от нее, прямая $l$ должна быть параллельна отрезку $AB$.
• Поскольку точки $B$ и $C$ равноудалены от прямой $l$ и лежат по разные стороны от нее, прямая $l$ должна проходить через середину отрезка $BC$.

Таким образом, искомая прямая $l$ должна быть параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$ и проходить через середину стороны $BC$. В геометрии известно, что прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией треугольника. Эта линия также проходит и через середину третьей стороны (в нашем случае, $AC$).

Аналогичные рассуждения можно провести для двух других возможных комбинаций:

• Если точки $A$ и $C$ находятся по одну сторону, а $B$ по другую, то искомая прямая будет средней линией, параллельной стороне $AC$.
• Если точки $B$ и $C$ находятся по одну сторону, а $A$ по другую, то искомая прямая будет средней линией, параллельной стороне $BC$.

Все три средние линии треугольника $ABC$ удовлетворяют заданному условию.

Как будет расположена прямая, равноудаленная от этих точек?

Прямая, равноудаленная от трех точек, не лежащих на одной прямой, является одной из трех средних линий треугольника, вершинами которого служат эти точки. Каждая такая прямая проходит через середины двух сторон этого треугольника и, следовательно, параллельна его третьей стороне.
Ответ: Прямая будет являться одной из трех средних линий треугольника, образованного данными точками.

Сколько существует таких прямых?

Поскольку у любого треугольника существует ровно три стороны, то существует и ровно три средние линии, каждая из которых параллельна одной из сторон. Таким образом, существует ровно три прямые, равноудаленные от трех данных точек.
Ответ: Существует 3 такие прямые.

15. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $AD$ и $BE$. Докажите, что середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, параллельной его основанию.

Дано:

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ имеем $AB = BC$. На боковых сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно, так что длины отрезков $AD$ и $BE$ равны, то есть $AD = BE$.

Доказать:

Середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, которая параллельна основанию $AC$.

Доказательство:

1. Пусть $K$ — середина стороны $AB$, а $M$ — середина стороны $BC$. Отрезок $KM$ является средней линией треугольника $ABC$, параллельной основанию $AC$. Нам нужно доказать, что середина отрезка $DE$ лежит на отрезке $KM$.

2. Воспользуемся методом векторов. Выберем вершину $B$ в качестве начала отсчета (начала координат). Тогда положение любой точки $X$ будет задаваться ее радиус-вектором $\vec{BX}$.

3. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC$, то длины векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равны: $|\vec{BA}| = |\vec{BC}|$. Обозначим эту длину как $L$.

4. Точка $D$ лежит на отрезке $AB$. Длина отрезка $BD$ равна $AB - AD = L - AD$. Поскольку по условию $AD=BE$, то $BD = L - BE$. Вектор $\vec{BD}$ коллинеарен вектору $\vec{BA}$ и направлен так же, поэтому его можно выразить как:$\vec{BD} = \frac{BD}{AB} \vec{BA} = \frac{L-BE}{L} \vec{BA} = \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA}$.

5. Точка $E$ лежит на отрезке $BC$. Вектор $\vec{BE}$ коллинеарен вектору $\vec{BC}$ и сонаправлен с ним. Его можно выразить как:$\vec{BE} = \frac{BE}{BC} \vec{BC} = \frac{BE}{L} \vec{BC}$.

6. Пусть $F$ — середина отрезка $DE$. По формуле для радиус-вектора середины отрезка:$\vec{BF} = \frac{1}{2} (\vec{BD} + \vec{BE})$.

7. Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{BD}$ и $\vec{BE}$:$\vec{BF} = \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA} + \frac{BE}{L} \vec{BC} \right)$.

8. Теперь рассмотрим среднюю линию $KM$. Точка $K$ — середина $AB$, значит, $\vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BA}$. Точка $M$ — середина $BC$, значит, $\vec{BM} = \frac{1}{2} \vec{BC}$.

9. Любая точка $P$, лежащая на отрезке $KM$, может быть представлена как линейная комбинация векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BM}$:$\vec{BP} = (1-t) \vec{BK} + t \vec{BM}$ для некоторого скаляра $t \in [0, 1]$.Подставив выражения для $\vec{BK}$ и $\vec{BM}$, получим:$\vec{BP} = (1-t) \frac{1}{2} \vec{BA} + t \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1-t}{2} \vec{BA} + \frac{t}{2} \vec{BC}$.

10. Чтобы доказать, что точка $F$ лежит на отрезке $KM$, мы должны показать, что существует такое значение $t \in [0, 1]$, при котором вектор $\vec{BF}$ равен вектору $\vec{BP}$. Приравняем выражения для этих векторов:$\frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{BE}{L}\right) \vec{BA} + \frac{BE}{L} \vec{BC} \right) = \frac{1-t}{2} \vec{BA} + \frac{t}{2} \vec{BC}$.

11. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ не коллинеарны, так как $A, B, C$ являются вершинами треугольника. Следовательно, равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при этих векторах равны:$\begin{cases} \frac{1}{2}\left(1 - \frac{BE}{L}\right) = \frac{1-t}{2} \\ \frac{1}{2} \frac{BE}{L} = \frac{t}{2} \end{cases}$

12. Из второго уравнения системы легко находим $t = \frac{BE}{L}$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его истинность:$1 - \frac{BE}{L} = 1 - t$, что также дает $t = \frac{BE}{L}$.Система имеет единственное решение $t = \frac{BE}{L}$.

13. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BC$, длина отрезка $BE$ находится в пределах $0 \le BE \le BC = L$. Деля это неравенство на $L$, получаем $0 \le \frac{BE}{L} \le 1$. Таким образом, $0 \le t \le 1$.

14. Мы показали, что для любого допустимого положения точек $D$ и $E$ существует такое значение $t$ в отрезке $[0, 1]$, что точка $F$ (середина $DE$) совпадает с точкой $P$ на средней линии $KM$. Следовательно, середина отрезка $DE$ принадлежит средней линии треугольника $ABC$, параллельной его основанию.

Ответ: Что и требовалось доказать.

16. Постройте треугольник, если заданы середины его сторон $D, E, F$ (рис. 8.5).

Рис. 8.5

Для построения искомого треугольника $ABC$ по известным серединам его сторон $D, E, F$ воспользуемся свойством средней линии. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Пусть точки $D, E, F$ являются серединами сторон $BC, AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Тогда отрезки $DE, EF, FD$ образуют так называемый срединный треугольник. По свойству средней линии:

• $DE \parallel AB$
• $EF \parallel BC$
• $FD \parallel AC$

Из этих параллельностей следует, что четырехугольники $AFDE$, $BFED$ и $CFDE$ являются параллелограммами.

Это дает нам следующий алгоритм построения:

1. Соединяем точки $D, E, F$ отрезками, получая срединный треугольник $DEF$.
2. Через каждую вершину срединного треугольника проводим прямую, параллельную противолежащей стороне этого треугольника.
   • Через точку $D$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$.
   • Через точку $E$ проводим прямую, параллельную отрезку $DF$.
   • Через точку $F$ проводим прямую, параллельную отрезку $DE$.
3. Точки пересечения этих трех прямых образуют вершины искомого треугольника $A, B, C$.

Применим этот алгоритм для каждого случая.

а)

1. Соединяем точки $D, E, F$ отрезками.

2. Строим прямые, параллельные сторонам треугольника $DEF$:

• Чтобы провести прямую через точку $F$, параллельную отрезку $DE$, заметим, что отрезок $DE$ соответствует смещению на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх. Проводим через $F$ прямую с таким же направлением. Это будет прямая, содержащая сторону $AB$.
• Чтобы провести прямую через точку $E$, параллельную отрезку $DF$, заметим, что отрезок $DF$ соответствует смещению на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Проводим через $E$ прямую с таким же направлением. Это будет прямая, содержащая сторону $AC$.
• Чтобы провести прямую через точку $D$, параллельную отрезку $EF$, заметим, что отрезок $EF$ является горизонтальным и имеет длину 2 клетки. Проводим через $D$ горизонтальную прямую. Это будет прямая, содержащая сторону $BC$.

3. Находим точки пересечения построенных прямых. Это и будут вершины искомого треугольника $ABC$. Вершина $A$ — пересечение прямых, проходящих через $E$ и $F$. Вершина $B$ — пересечение прямых, проходящих через $D$ и $F$. Вершина $C$ — пересечение прямых, проходящих через $D$ и $E$.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

б)

1. Аналогично предыдущему пункту, соединяем точки $D, E, F$ отрезками.

2. Строим параллельные прямые:

• Через точку $F$ проводим прямую, параллельную отрезку $DE$. Отрезок $DE$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх. Проводим через $F$ прямую с таким же наклоном. Это будет сторона $AB$.
• Через точку $E$ проводим прямую, параллельную отрезку $DF$. Отрезок $DF$ соответствует смещению на 1 клетку влево и 3 клетки вниз. Проводим через $E$ прямую с таким же направлением. Это будет сторона $AC$.
• Через точку $D$ проводим прямую, параллельную отрезку $EF$. Отрезок $EF$ соответствует смещению на 3 клетки влево и 1 клетку вниз. Проводим через $D$ прямую с таким же направлением. Это будет сторона $BC$.

3. Точки пересечения построенных прямых являются вершинами искомого треугольника $ABC$.

Ответ: Построение показано на рисунке ниже.

17. Восстановите ромб по точке пересечения его диагоналей $O$ и серединам $E$, $F$ двух смежных сторон (рис. 8.6).

а)б)

Рис. 8.6

Для восстановления ромба воспользуемся его свойствами и свойствами средней линии треугольника. Пусть искомый ромб — это $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей, $E$ — середина стороны $AB$, а $F$ — середина смежной ей стороны $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EF$, соединяющий середины сторон $AB$ и $BC$, является его средней линией. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне ($AC$) и равна её половине, то есть $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2}AC$.

Точка $O$ является центром ромба и, следовательно, серединой диагонали $AC$. Это означает, что вектор $\vec{OC}$ направлен так же, как и вектор $\vec{AC}$, а его длина составляет половину длины $AC$, то есть $|\vec{OC}| = \frac{1}{2}AC$.

Сравнивая эти два факта, мы приходим к выводу, что векторы $\vec{OC}$ и $\vec{EF}$ равны: $\vec{OC} = \vec{EF}$. Это ключевое соотношение, которое позволяет нам найти вершину $C$.

Алгоритм восстановления ромба будет следующим:

1. Найти вектор $\vec{EF}$, соединяющий середины смежных сторон.

2. Найти положение вершины $C$, отложив вектор $\vec{EF}$ от точки $O$.

3. Найти положение вершины $A$, зная, что точка $O$ является серединой отрезка $AC$ (то есть $A$ симметрична $C$ относительно $O$).

4. Найти положение вершины $B$, зная, что точка $F$ является серединой отрезка $BC$ (то есть $B$ симметрична $C$ относительно $F$).

5. Найти положение вершины $D$, зная, что точка $O$ является серединой отрезка $BD$ (то есть $D$ симметрична $B$ относительно $O$).

Применим этот метод для каждого случая.

а) Введем систему координат, разместив начало в левом нижнем углу сетки. Тогда заданные точки имеют следующие координаты: $O(2, 3)$, $E(2, 1)$ и $F(1, 2)$.

1. Вычислим вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = (1 - 2, 2 - 1) = (-1, 1)$.

2. Найдем координаты вершины $C$:

$\vec{c} = \vec{o} + \vec{EF} = (2, 3) + (-1, 1) = (1, 4)$. Таким образом, $C(1, 4)$.

3. Найдем координаты вершины $A$. Точка $A$ симметрична $C$ относительно $O$:

$\vec{a} = 2\vec{o} - \vec{c} = 2(2, 3) - (1, 4) = (4, 6) - (1, 4) = (3, 2)$. Таким образом, $A(3, 2)$.

4. Найдем координаты вершины $B$. Точка $B$ симметрична $C$ относительно $F$:

$\vec{b} = 2\vec{f} - \vec{c} = 2(1, 2) - (1, 4) = (2, 4) - (1, 4) = (1, 0)$. Таким образом, $B(1, 0)$.

5. Найдем координаты вершины $D$. Точка $D$ симметрична $B$ относительно $O$:

$\vec{d} = 2\vec{o} - \vec{b} = 2(2, 3) - (1, 0) = (4, 6) - (1, 0) = (3, 6)$. Таким образом, $D(3, 6)$.

Итак, мы восстановили вершины ромба: $A(3, 2)$, $B(1, 0)$, $C(1, 4)$, $D(3, 6)$.

Ответ: Вершины ромба — точки с координатами $A(3, 2)$, $B(1, 0)$, $C(1, 4)$ и $D(3, 6)$.

б) Аналогично введем систему координат для второго рисунка. Координаты заданных точек: $O(2, 1)$, $E(3, 1)$ и $F(2, 3)$.

1. Вычислим вектор $\vec{EF}$:

$\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = (2 - 3, 3 - 1) = (-1, 2)$.

2. Найдем координаты вершины $C$:

$\vec{c} = \vec{o} + \vec{EF} = (2, 1) + (-1, 2) = (1, 3)$. Таким образом, $C(1, 3)$.

3. Найдем координаты вершины $A$. Точка $A$ симметрична $C$ относительно $O$:

$\vec{a} = 2\vec{o} - \vec{c} = 2(2, 1) - (1, 3) = (4, 2) - (1, 3) = (3, -1)$. Таким образом, $A(3, -1)$.

4. Найдем координаты вершины $B$. Точка $B$ симметрична $C$ относительно $F$:

$\vec{b} = 2\vec{f} - \vec{c} = 2(2, 3) - (1, 3) = (4, 6) - (1, 3) = (3, 3)$. Таким образом, $B(3, 3)$.

5. Найдем координаты вершины $D$. Точка $D$ симметрична $B$ относительно $O$:

$\vec{d} = 2\vec{o} - \vec{b} = 2(2, 1) - (3, 3) = (4, 2) - (3, 3) = (1, -1)$. Таким образом, $D(1, -1)$.

Итак, мы восстановили вершины ромба: $A(3, -1)$, $B(3, 3)$, $C(1, 3)$, $D(1, -1)$.

Ответ: Вершины ромба — точки с координатами $A(3, -1)$, $B(3, 3)$, $C(1, 3)$ и $D(1, -1)$.

18. Как, используя свойство средней линии треугольника, провести через пункт $C$ дорогу, параллельную дороге, соединяющей пункты $A$ и $B$ (рис. 8.7)?

Рис. 8.7

Чтобы, используя свойство средней линии треугольника, провести через точку C дорогу, параллельную дороге, соединяющей точки A и B, нужно выполнить следующие шаги построения:

1. Соединить точку C с одной из точек на дороге, например, с точкой A, получив отрезок AC.

2. На прямой, содержащей отрезок AC, отложить за точкой C отрезок CD, длина которого равна длине отрезка AC. Таким образом, точка C станет серединой нового отрезка AD.

3. Соединить полученную точку D с другой точкой на дороге — точкой B. В результате этого построения образуется треугольник ADB.

4. Найти середину стороны DB этого треугольника и обозначить ее буквой M.

5. Провести прямую через точки C и M. Эта прямая и будет искомой дорогой.

Обоснование корректности построения заключается в следующем. В построенном треугольнике $ \triangle ADB $ точка C является серединой стороны AD (по построению), а точка M — серединой стороны DB (также по построению). Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Следовательно, отрезок CM — это средняя линия треугольника $ \triangle ADB $. По свойству средней линии треугольника, она всегда параллельна третьей стороне. В нашем случае это означает, что прямая, содержащая отрезок CM, параллельна прямой, содержащей сторону AB. Так как построенная прямая проходит через заданную точку C и параллельна дороге AB, она является решением задачи.

Ответ: Необходимо построить треугольник $ \triangle ADB $, где точка D такова, что C является серединой отрезка AD. Затем найти середину M стороны DB. Прямая CM будет искомой дорогой. Это следует из того, что CM является средней линией треугольника $ \triangle ADB $, и по свойству средней линии она параллельна стороне AB ($CM \parallel AB$).