Страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки, равные 4 см и 5 см (рис. 6.8). Найдите стороны данного прямоугольника.

Рис. 6.8

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Биссектриса угла $A$, обозначим ее $AK$, пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$, а угол $A$ в прямоугольнике равен $90^\circ$, то $\angle DAK = \frac{1}{2}\angle A = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

В прямоугольнике противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle AKD$ и $\angle KAB$ равны. Так как $\angle KAB$ является второй половиной угла $A$, он также равен $45^\circ$. Таким образом, $\angle AKD = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADK$. В нем два угла равны: $\angle DAK = \angle AKD = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle ADK$ является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AD = DK$.

По условию, биссектриса делит сторону $CD$ на отрезки длиной 4 см и 5 см. В зависимости от того, какой из отрезков прилегает к вершине $D$, возможны два случая.

Случай 1: Отрезок, прилегающий к вершине $D$, равен 4 см, то есть $DK = 4$ см, а $KC = 5$ см. Этот случай соответствует рисунку 6.8. В этом случае одна из сторон прямоугольника, $AD$, равна $DK$: $AD = 4$ см. Другая сторона, $CD$, равна сумме длин отрезков: $CD = DK + KC = 4 + 5 = 9$ см. Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см.

Случай 2: Отрезок, прилегающий к вершине $D$, равен 5 см, то есть $DK = 5$ см, а $KC = 4$ см. В этом случае сторона $AD$ была бы равна $DK$: $AD = 5$ см. Сторона $CD$ по-прежнему была бы равна сумме отрезков: $CD = DK + KC = 5 + 4 = 9$ см. Таким образом, стороны прямоугольника были бы равны 5 см и 9 см.

Поскольку в условии задачи есть ссылка на конкретный рисунок 6.8, на котором ясно показано, что $DK=4$ см, то решением является результат, полученный в первом случае.

Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см.

13. Докажите, что биссектрисы углов параллелограмма с неравными соседними сторонами при пересечении образуют прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB$ и $AD$, причем $AB \neq AD$. Проведем биссектрисы его углов. Пусть биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются в точке $M$, биссектрисы углов $A$ и $B$ — в точке $N$, биссектрисы углов $B$ и $C$ — в точке $P$, а биссектрисы углов $C$ и $D$ — в точке $K$. Нам нужно доказать, что четырехугольник $MNPK$ — прямоугольник.

Для доказательства того, что $MNPK$ является прямоугольником, достаточно показать, что все его углы равны $90^\circ$.

1. Найдем угол $N$ четырехугольника $MNPK$.
Рассмотрим треугольник $ANB$. Точка $N$ является точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $B$ параллелограмма. По определению биссектрисы, $\angle NAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle NBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ANB$ равна $180^\circ$. Выразим угол $ANB$:
$\angle ANB = 180^\circ - (\angle NAB + \angle NBA)$
$\angle ANB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
Подставим значение суммы углов $A$ и $B$:
$\angle ANB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $MNP$ четырехугольника $MNPK$ совпадает с углом $ANB$, так как точки $M, N$ лежат на одной биссектрисе, а точки $P, N$ на другой. Таким образом, $\angle MNP = 90^\circ$.

2. Найдем остальные углы четырехугольника $MNPK$.
Доказательство для остальных углов аналогично.

• Рассмотрим $\triangle BPC$ (точка $P$ — пересечение биссектрис $\angle B$ и $\angle C$). Поскольку $\angle B + \angle C = 180^\circ$, то угол $\angle BPC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle NPK = 90^\circ$.
• Рассмотрим $\triangle CKD$ (точка $K$ — пересечение биссектрис $\angle C$ и $\angle D$). Поскольку $\angle C + \angle D = 180^\circ$, то угол $\angle CKD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle PKM = 90^\circ$.
• Рассмотрим $\triangle AMD$ (точка $M$ — пересечение биссектрис $\angle A$ и $\angle D$). Поскольку $\angle A + \angle D = 180^\circ$, то угол $\angle AMD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle KMN = 90^\circ$.

Таким образом, все четыре угла четырехугольника $MNPK$ равны $90^\circ$.

Условие о неравенстве соседних сторон необходимо, так как если бы соседние стороны были равны, параллелограмм был бы ромбом. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, и все четыре биссектрисы пересеклись бы в одной точке, не образуя четырехугольника.

Ответ: Мы доказали, что все углы четырехугольника, образованного пересечением биссектрис углов параллелограмма, являются прямыми. Четырехугольник, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

14. Перпендикуляр $DH$ $(рис. 6.9)$, опущенный из вершины $D$ прямоугольника $ABCD$ на его диагональ $AC$, делит угол $D$ в отношении $2 : 3$. Найдите:

a) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами;

б) угол между перпендикуляром $DH$ и диагональю $BD$.

а)Дано, что ABCD - прямоугольник, следовательно, все его углы равны 90°. В частности, угол $\angle ADC = 90°$. Перпендикуляр DH, опущенный из вершины D на диагональ AC, делит этот прямой угол на два угла: $\angle ADH$ и $\angle CDH$. По условию задачи, их отношение составляет $\angle CDH : \angle ADH = 2 : 3$.Пусть одна часть составляет $x$, тогда $\angle CDH = 2x$ и $\angle ADH = 3x$. Их сумма равна углу прямоугольника:$2x + 3x = 90°$$5x = 90°$$x = 18°$Теперь найдем величины этих углов:$\angle CDH = 2 \cdot 18° = 36°$$\angle ADH = 3 \cdot 18° = 54°$Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$. Поскольку $DH \perp AC$, угол $\angle DHC = 90°$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, поэтому угол $\angle HCD$ (который является углом $\angle ACD$) равен:$\angle ACD = 90° - \angle CDH = 90° - 36° = 54°$.Это один из углов, которые диагональ образует со стороной. Другой угол, $\angle DAC$, можно найти из прямоугольного треугольника $\triangle ADC$:$\angle DAC = 90° - \angle ACD = 90° - 54° = 36°$.В силу свойств прямоугольника (параллельность противоположных сторон и равенство накрест лежащих углов), все углы, образуемые диагоналями со сторонами, будут равны либо $36°$, либо $54°$.
Ответ:углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами, равны $36°$ и $54°$.

б)Для нахождения угла между перпендикуляром DH и диагональю BD (то есть угла $\angle HDB$), нам необходимо сначала определить величину угла $\angle ADB$.Пусть диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются в точке O. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OA = OD$. Это означает, что треугольник $\triangle AOD$ является равнобедренным.В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ODA = \angle OAD$.Угол $\angle OAD$ — это тот же угол, что и $\angle CAD$, который мы вычислили в пункте а): $\angle CAD = 36°$.Следовательно, $\angle ADB = \angle ODA = 36°$.Из пункта а) мы также знаем, что $\angle ADH = 54°$.Искомый угол $\angle HDB$ представляет собой разность между углами $\angle ADH$ и $\angle ADB$, поскольку луч DB проходит между лучами DA и DH.$\angle HDB = \angle ADH - \angle ADB = 54° - 36° = 18°$.
Ответ:угол между перпендикуляром DH и диагональю BD равен $18°$.

15. Постройте прямоугольник по:

а) двум соседним сторонам;

б) стороне и диагонали.

а) двум соседним сторонам

Пусть даны два отрезка $a$ и $b$, которые являются длинами соседних сторон искомого прямоугольника. Назовем искомый прямоугольник $ABCD$, где $AB = a$ и $AD = b$. По определению, все углы прямоугольника прямые, а противоположные стороны равны.

Алгоритм построения:

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.

2. В точке $A$ восстановим перпендикуляр к прямой $AB$. Для этого построим окружность с центром в точке $A$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Затем из этих точек проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности) до их пересечения. Прямая, проходящая через точку $A$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна прямой $AB$.

3. На построенном перпендикуляре от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный данному отрезку $b$.

4. Теперь необходимо найти четвертую вершину $C$. Она является точкой пересечения двух окружностей:
- Окружности с центром в точке $D$ и радиусом, равным длине стороны $AB$ (то есть $a$).
- Окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине стороны $AD$ (то есть $b$).

5. Точку пересечения этих окружностей обозначим $C$.

6. Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. По построению, его соседние стороны $AB$ и $AD$ равны заданным длинам $a$ и $b$, а угол $\angle DAB$ прямой. Так как по построению $DC=AB$ и $BC=AD$, то $ABCD$ – параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Ответ: Прямоугольник построен согласно описанному алгоритму.

б) стороне и диагонали

Пусть даны два отрезка $a$ и $d$, где $a$ – длина стороны, а $d$ – длина диагонали прямоугольника. Отметим, что для существования такого прямоугольника необходимо, чтобы $d > a$. Назовем искомый прямоугольник $ABCD$, где сторона $AB = a$ и диагональ $AC = d$. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Например, $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle B$, катетом $AB=a$ и гипотенузой $AC=d$.

Алгоритм построения:

1. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ по катету $a$ и гипотенузе $d$.
a. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данному отрезку $a$.
b. В точке $B$ восстановим перпендикуляр к прямой $AB$.
c. Проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине диагонали $d$.
d. Точка пересечения этой окружности с перпендикуляром, восстановленным в точке $B$, будет третьей вершиной треугольника, назовем ее $C$. Соединим точки $A$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

2. Теперь необходимо достроить треугольник $ABC$ до прямоугольника $ABCD$. Для этого найдем четвертую вершину $D$. Она является точкой пересечения двух окружностей:
- Окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине стороны $BC$ (измеряем циркулем).
- Окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине стороны $AB$ (то есть $a$).

3. Точку пересечения этих окружностей обозначим $D$.

4. Соединим отрезками точки $A$ с $D$ и $C$ с $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником. По построению, он состоит из двух равных прямоугольных треугольников $ABC$ и $ADC$. Его сторона $AB$ равна $a$, а диагональ $AC$ равна $d$.

Ответ: Прямоугольник построен согласно описанному алгоритму.

16. Проведите прямую. Постройте параллельную ей прямую так, чтобы расстояние между этими прямыми было равно 2 см. Сколько таких прямых?

Задача состоит из двух частей: описание построения параллельной прямой и определение количества таких прямых.

Построение параллельной прямой на заданном расстоянии

Чтобы построить прямую, параллельную данной и отстоящую от нее на 2 см, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести произвольную прямую, которую мы обозначим как a.

2. Выбрать на этой прямой a любую точку и обозначить ее A.

3. Используя угольник или циркуль с линейкой, построить через точку A прямую p, которая будет перпендикулярна прямой a. Математически это записывается как $p \perp a$.

4. На прямой p от точки A отложить отрезок длиной 2 см. Другой конец этого отрезка обозначим точкой B. Таким образом, мы получаем отрезок AB, длина которого равна 2 см.

5. Через точку B построить прямую b, параллельную прямой a. Самый простой способ сделать это — провести прямую b через точку B перпендикулярно прямой p. Согласно свойству параллельных прямых, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. Следовательно, мы получим $b \parallel a$.

Расстояние между параллельными прямыми a и b по определению равно длине их общего перпендикуляра, которым в нашем случае является отрезок AB. Его длина по построению равна 2 см.

Сколько таких прямых?

Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, — это пара параллельных прямых, расположенных по обе стороны от нее.

В шаге 4 нашего построения мы откладывали отрезок длиной 2 см на прямой p от точки A. Это действие можно выполнить в двух противоположных направлениях, так как прямая a делит плоскость на две полуплоскости.

1. Мы можем отложить точку B в одной полуплоскости и провести через нее прямую b.

2. Мы можем отложить точку B' (читается «бэ-штрих») в другой полуплоскости на том же расстоянии 2 см от точки A и провести через нее прямую b'.

Обе прямые, b и b', будут параллельны исходной прямой a и находиться от нее на расстоянии 2 см. Таким образом, существует две такие прямые.

Ответ: Можно построить ровно две такие прямые. Они будут параллельны исходной прямой и расположены по разные стороны от нее.

17. Укажите геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих определённым свойством. В данной задаче искомое свойство точки — это находиться на заданном расстоянии от заданной прямой.

Пусть дана прямая $a$ и заданное расстояние $d > 0$. Необходимо найти множество всех точек $M$, для которых расстояние до прямой $a$ равно $d$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Рассмотрим любую точку $H$ на прямой $a$. Через эту точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную $a$. На этой перпендикулярной прямой существуют ровно две точки, $M_1$ и $M_2$, которые находятся на расстоянии $d$ от точки $H$. Эти точки расположены по разные стороны от прямой $a$. Расстояние от каждой из этих точек ($M_1$ и $M_2$) до прямой $a$ равно длине перпендикуляра, то есть $d$.

Если мы повторим эту процедуру для всех точек прямой $a$, то совокупность всех точек вида $M_1$ (лежащих по одну сторону от $a$) образует одну фигуру, а совокупность всех точек вида $M_2$ (лежащих по другую сторону) — другую. Докажем, что эти фигуры являются прямыми, параллельными исходной прямой $a$.

Пусть $a_1$ — это множество всех точек, находящихся на расстоянии $d$ от прямой $a$ и лежащих в одной полуплоскости относительно $a$. Пусть $P_1$ и $Q_1$ — две произвольные точки из этого множества. Опустим из них перпендикуляры $P_1P$ и $Q_1Q$ на прямую $a$. По определению, $P_1P = Q_1Q = d$ и $P_1P \perp a$, $Q_1Q \perp a$. Так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то $P_1P \parallel Q_1Q$. Рассмотрим четырехугольник $PQQ_1P_1$. В нем стороны $P_1P$ и $Q_1Q$ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм (а так как углы при основании $PQ$ прямые, то это прямоугольник). Из этого следует, что прямая $P_1Q_1$ параллельна прямой $PQ$, то есть прямой $a$. Поскольку точки $P_1$ и $Q_1$ были выбраны произвольно, всё множество точек $a_1$ лежит на прямой, параллельной $a$.

Аналогичные рассуждения применимы и для множества точек $a_2$, расположенных в другой полуплоскости. Это множество также образует прямую, параллельную $a$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, параллельных данной и расположенных на заданном расстоянии от нее в разных полуплоскостях.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по разные стороны от нее на данном расстоянии.

18. Изобразите параллелограмм, у которого все стороны равны. Что можно сказать об углах, которые образуют диагонали такого параллелограмма?

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Ниже представлено изображение такого параллелограмма (ромба $ABCD$) с его диагоналями $AC$ и $BD$.

Об углах, которые образуют диагонали такого параллелограмма (ромба), можно сказать, что они обладают двумя ключевыми свойствами, основанными на свойствах равнобедренного треугольника:

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Это означает, что они пересекаются под прямым углом, равным $90^\circ$. Все четыре угла в точке пересечения диагоналей являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Это означает, что каждая диагональ делит угол ромба, из которого она проведена, на два равных угла. Например, диагональ $AC$ делит пополам углы $\angle DAB$ и $\angle BCD$, а диагональ $BD$ делит пополам углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$.

Ответ: Параллелограмм, у которого все стороны равны, — это ромб. Его диагонали взаимно перпендикулярны (пересекаются под углом $90^\circ$) и являются биссектрисами его внутренних углов.