Страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Является ли равенство двух противоположных углов четырехугольника признаком параллелограмма?

б. Нет, равенство только одной пары противолежащих углов четырехугольника не является достаточным признаком параллелограмма.

Один из признаков параллелограмма гласит, что четырехугольник является параллелограммом, если у него попарно равны противолежащие углы. Это означает, что для четырехугольника $ABCD$ должны выполняться два равенства: $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Если же выполняется только одно из этих равенств, то четырехугольник не обязательно будет параллелограммом.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример — четырехугольник, у которого равна только одна пара противолежащих углов, но который не является параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Сумма его углов составляет $360^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Пусть у нашего четырехугольника одна пара противолежащих углов равна, например, $\angle B = \angle D = 70^\circ$.

Тогда сумма двух других углов будет:

$\angle A + \angle C = 360^\circ - (\angle B + \angle D) = 360^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$

Если бы четырехугольник был параллелограммом, то должно было бы выполняться условие $\angle A = \angle C$. В этом случае каждый из этих углов был бы равен $220^\circ / 2 = 110^\circ$.

Однако мы можем выбрать любые значения для $\angle A$ и $\angle C$, лишь бы их сумма была равна $220^\circ$. Например, выберем $\angle A = 100^\circ$ и $\angle C = 120^\circ$.

Таким образом, мы получили четырехугольник со следующими углами: $\angle A = 100^\circ$, $\angle B = 70^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 70^\circ$. В этом четырехугольнике $\angle B = \angle D$, но $\angle A \neq \angle C$. Так как вторая пара противолежащих углов не равна, этот четырехугольник не является параллелограммом.

Ответ: Нет, не является.

6. Две стороны четырехугольника параллельны, а две другие равны. Верно ли утверждение о том, что этот четырехугольник является параллелограммом?

Нет, данное утверждение неверно.

Чтобы утверждение было верным, оно должно выполняться для любого четырехугольника, удовлетворяющего заданным условиям. Однако можно привести пример фигуры, которая подходит под описание, но не является параллелограммом.

Рассмотрим два возможных типа четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие равны.

1. Параллелограмм
Возьмем параллелограмм $ABCD$. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$) и попарно равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Этот четырехугольник удовлетворяет условию: у него есть две параллельные стороны (например, $AB$ и $CD$) и две другие равные стороны (например, $BC$ и $AD$). Таким образом, параллелограмм является одним из возможных четырехугольников, описанных в задаче.

2. Равнобедренная трапеция
Теперь рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, у которой основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$). Этот четырехугольник также полностью удовлетворяет условию задачи, так как у него есть две параллельные стороны ($AD$ и $BC$) и две другие равные стороны ($AB$ и $CD$).

Однако равнобедренная трапеция по определению не является параллелограммом (за исключением частного случая, когда она является прямоугольником), так как у нее параллельна только одна пара противоположных сторон, а вторая пара ($AB$ и $CD$) не параллельна.

Поскольку существует контрпример — равнобедренная трапеция, — который удовлетворяет условиям, но не является параллелограммом, исходное утверждение не может считаться верным в общем случае.

Ответ: утверждение неверно.

7. На продолжении противолежащих сторон параллелограмма $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$, $CF$ (рис. 5.7) и проведены отрезки $BE$, $DF$. Докажите, что полученный четырехугольник $BFDE$ — параллелограмм.

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.

Точка $E$ лежит на продолжении стороны $DA$ за точку $A$.

Точка $F$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$.

$AE = CF$.

Доказать:

$BFDE$ — параллелограмм.

Доказательство:

Для доказательства того, что четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Рассмотрим противолежащие стороны $ED$ и $BF$ четырехугольника $BFDE$.

1. Поскольку $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Точка $E$ принадлежит прямой $AD$, а точка $F$ принадлежит прямой $BC$. Следовательно, прямая, содержащая отрезок $ED$, параллельна прямой, содержащей отрезок $BF$. Таким образом, мы получаем, что $ED \parallel BF$.

2. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны также и равны: $AD = BC$.

По условию задачи, отрезки $AE$ и $CF$ равны: $AE = CF$.

Длина стороны $ED$ складывается из длин отрезков $AE$ и $AD$: $ED = AE + AD$.

Длина стороны $BF$ складывается из длин отрезков $BC$ и $CF$: $BF = BC + CF$.

Зная, что $AD = BC$ и $AE = CF$, мы можем утверждать, что суммы $AE + AD$ и $BC + CF$ равны.

Следовательно, $ED = BF$.

3. Мы установили, что в четырехугольнике $BFDE$ две противолежащие стороны, $ED$ и $BF$, одновременно параллельны ($ED \parallel BF$) и равны ($ED = BF$).

Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $BFDE$ является параллелограммом.

8. На рисунке 5.8 четырехугольник ABCD — параллелограмм, $AE = CF$. Докажите, что точки A, E, C, F являются вершинами параллелограмма.

Рис. 5.8

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $AECF$. Для того чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков.

1. По условию, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$, то есть $AB \parallel DC$.

2. Точка $E$ принадлежит стороне $AB$, а точка $F$ — стороне $DC$. Это означает, что отрезок $AE$ лежит на прямой $AB$, а отрезок $CF$ — на прямой $DC$. Поскольку прямые $AB$ и $DC$ параллельны, то и отрезки $AE$ и $CF$, лежащие на этих прямых, также параллельны. Таким образом, $AE \parallel CF$.

3. По условию задачи также дано, что длины отрезков $AE$ и $CF$ равны: $AE = CF$.

4. Мы получили, что в четырехугольнике $AECF$ две противолежащие стороны ($AE$ и $CF$) равны и параллельны.

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $AECF$ — параллелограмм, а точки A, E, C, F являются его вершинами. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A, E, C, F являются вершинами параллелограмма.

9. В параллелограмме $ABCD$ (рис. 5.9) биссектрисы углов $B$ и $D$ пересекают диагональ $AC$ в точках $E$ и $F$, которые соединены соответственно с вершинами параллелограмма $B$ и $D$. Докажите, что четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом.

Рис. 5.9

Для доказательства того, что четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма, согласно которому четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Диагоналями четырехугольника $BEDF$ являются отрезки $BD$ и $EF$.

Пусть диагонали исходного параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, точка $O$ является серединой его диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следует, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$.

1. Сторона $AD$ равна стороне $CB$, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма $ABCD$.

2. Угол $\angle DAF$ равен углу $\angle BCE$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.

3. Противоположные углы параллелограмма $ABCD$ равны, то есть $\angle ADC = \angle ABC$. По условию, $DF$ и $BE$ являются биссектрисами этих углов. Следовательно, $\angle ADF = \frac{1}{2}\angle ADC$ и $\angle CBE = \frac{1}{2}\angle ABC$. Отсюда получаем, что $\angle ADF = \angle CBE$.

Таким образом, треугольники $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AF = CE$.

Теперь необходимо доказать, что точка $O$ является серединой диагонали $EF$. Мы уже знаем, что точка $O$ — середина диагонали $AC$, а значит $AO = OC$.

Длину отрезка $OF$ можно найти как разность длин отрезков $AO$ и $AF$ (при условии, что точка $F$ лежит на отрезке $AO$). Длину отрезка $OE$ можно найти как разность длин отрезков $OC$ и $CE$ (при условии, что точка $E$ лежит на отрезке $OC$).

Используя равенства $AO = OC$ и $AF = CE$, получаем: $OF = AO - AF = OC - CE = OE$.

Равенство $OF = OE$ означает, что точка $O$ является серединой отрезка $EF$.

Итак, мы установили, что диагонали четырехугольника $BEDF$ (отрезки $BD$ и $EF$) пересекаются в точке $O$, и эта точка является серединой каждой из них ($BO=OD$ и $FO=OE$).

Следовательно, четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом по признаку о диагоналях.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник $BEDF$ является параллелограммом.

10. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противолежащей стороне (рис. 5.10). Как связаны между собой стороны данного параллелограмма?

Рис. 5.10

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Согласно условию, биссектрисы углов $\angle ADC$ и $\angle BCD$, прилежащих к стороне $DC$, пересекаются в точке $E$, которая лежит на противолежащей стороне $AB$. Таким образом, $DE$ — биссектриса угла $\angle ADC$, а $CE$ — биссектриса угла $\angle BCD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADE$.
Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$.
Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $DE$. Углы $\angle AED$ и $\angle EDC$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle AED = \angle EDC$.
Так как $DE$ является биссектрисой угла $\angle ADC$, то по определению биссектрисы $\angle ADE = \angle EDC$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle AED = \angle ADE$.
Треугольник, в котором два угла равны, является равнобедренным. Следовательно, треугольник $\triangle ADE$ — равнобедренный, и его стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AD = AE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$.
Рассмотрим те же параллельные прямые $AB$ и $DC$ и секущую $CE$. Углы $\angle BEC$ и $\angle DCE$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle BEC = \angle DCE$.
Так как $CE$ является биссектрисой угла $\angle BCD$, то по определению биссектрисы $\angle BCE = \angle DCE$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle BEC = \angle BCE$.
Следовательно, треугольник $\triangle BCE$ также является равнобедренным, и его стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $BC = BE$.

Точка $E$ лежит на стороне $AB$. Это означает, что длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $BE$: $AB = AE + BE$.
Подставим в это равенство найденные ранее соотношения $AD = AE$ и $BC = BE$:
$AB = AD + BC$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$. Заменив $BC$ на $AD$, получим:
$AB = AD + AD = 2 \cdot AD$.

Таким образом, сторона параллелограмма, на которой лежит точка пересечения биссектрис, в два раза длиннее смежной с ней стороны.
Ответ: Одна из сторон параллелограмма в два раза больше другой (смежной) стороны.