Страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что в правильном шестиугольнике $ABCDE$ (рис. 3.4) диагональ $AD$ параллельна стороне $FE$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$. Для доказательства параллельности диагонали $AD$ и стороны $FE$ мы воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых. Сначала докажем, что диагональ $AD$ параллельна стороне $BC$, а затем используем известный факт, что сторона $BC$ параллельна стороне $FE$.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому $AB = CD$. Также все внутренние углы равны $120^\circ$, следовательно $\angle ABC = \angle BCD = 120^\circ$. Четырехугольник $ABCD$ является равнобедренной трапецией, так как его боковые стороны $AB$ и $CD$ равны, а углы при основании $BC$ также равны. Основаниями этой трапеции являются отрезки $AD$ и $BC$. По определению трапеции, ее основания параллельны. Таким образом, мы установили, что $AD \parallel BC$.

2. Одним из свойств правильного шестиугольника является то, что его противолежащие стороны попарно параллельны. Стороны $BC$ и $FE$ являются противолежащими, следовательно, $BC \parallel FE$.

3. Итак, мы имеем два факта: $AD \parallel BC$ и $BC \parallel FE$. Согласно свойству транзитивности (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), мы можем заключить, что диагональ $AD$ параллельна стороне $FE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

13. Изобразите четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Что можно сказать о сторонах и углах такого четырехугольника?

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Ниже представлено изображение такого четырехугольника и описаны его свойства касательно сторон и углов.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению, в нем сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$), а сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).

Стороны

У параллелограмма противолежащие стороны не только параллельны (по определению), но и равны по длине. Для параллелограмма $ABCD$ это означает:
$AB = DC$
$AD = BC$

Углы

1. Противолежащие углы параллелограмма равны между собой.
$\angle A = \angle C$
$\angle B = \angle D$

2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Это объясняется тем, что они являются внутренними односторонними углами при пересечении параллельных прямых (сторон) секущей (другой стороной).
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
$\angle B + \angle C = 180^\circ$
$\angle C + \angle D = 180^\circ$
$\angle D + \angle A = 180^\circ$

3. Сумма всех четырех углов параллелограмма, как и любого выпуклого четырехугольника, составляет $360^\circ$.
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Ответ: Такой четырехугольник является параллелограммом. Его противолежащие стороны равны и параллельны; его противолежащие углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.