Страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?

2. Какой угол называется внешним углом выпуклого многоугольника?

3. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?

1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?
Любой выпуклый n-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется как произведение количества таких треугольников на $180^\circ$.
Формула для вычисления суммы внутренних углов (S) выпуклого n-угольника:
$S = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.
Например:
- Для треугольника ($n=3$): $S = 180^\circ \cdot (3-2) = 180^\circ$.
- Для четырехугольника ($n=4$): $S = 180^\circ \cdot (4-2) = 360^\circ$.
- Для пятиугольника ($n=5$): $S = 180^\circ \cdot (5-2) = 540^\circ$.
Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

2. Какой угол называется внешним углом выпуклого многоугольника?
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине. Он образуется одной из сторон многоугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине всегда равна $180^\circ$.
Ответ: Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине.

3. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
Сумма внутреннего и внешнего угла при каждой вершине выпуклого n-угольника равна $180^\circ$. Всего в n-угольнике $n$ вершин, поэтому сумма всех внутренних и всех внешних углов равна $n \cdot 180^\circ$.
Мы знаем, что сумма внутренних углов равна $180^\circ(n-2)$.
Чтобы найти сумму внешних углов, нужно из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
Сумма внешних углов = $n \cdot 180^\circ - 180^\circ(n-2) = 180^\circ \cdot n - 180^\circ \cdot n + 180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.
Таким образом, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа его сторон и всегда постоянна.
Ответ: Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

1. Чему равна сумма углов выпуклого:
а) четырехугольника;
б) пятиугольника;
в) шестиугольника;
г) семиугольника;
д) восьмиугольника?

Для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника используется универсальная формула:

$S = (n-2) \times 180^\circ$

где $n$ — это количество сторон (или углов) многоугольника. Рассчитаем сумму углов для каждого случая.

а) четырехугольника;

Для четырехугольника количество сторон $n=4$. Подставляем в формулу:

$S = (4-2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.

б) пятиугольника;

Для пятиугольника количество сторон $n=5$. Сумма его углов равна:

$S = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

Ответ: $540^\circ$.

в) шестиугольника;

Для шестиугольника количество сторон $n=6$. Сумма его углов равна:

$S = (6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Ответ: $720^\circ$.

г) семиугольника;

Для семиугольника количество сторон $n=7$. Сумма его углов равна:

$S = (7-2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$.

Ответ: $900^\circ$.

д) восьмиугольника?

Для восьмиугольника количество сторон $n=8$. Сумма его углов равна:

$S = (8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ$.

Ответ: $1080^\circ$.

2. Чему равны углы правильного:

а) треугольника;

б) четырехугольника;

в) пятиугольника;

г) шестиугольника?

Для нахождения величины внутреннего угла правильного (равностороннего и равноугольного) n-угольника используется общая формула. Сначала находится сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника по формуле: $S_n = (n - 2) \times 180^\circ$, где $n$ — это количество сторон многоугольника.

Поскольку в правильном многоугольнике все углы равны между собой, для нахождения величины одного угла ($\alpha$) необходимо разделить сумму всех углов на их количество $n$.

Формула для одного внутреннего угла правильного n-угольника выглядит так: $\alpha = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}$.

Теперь решим задачу для каждого из указанных многоугольников.

а) треугольника

Правильный треугольник (равносторонний) имеет 3 равные стороны и 3 равных угла. Таким образом, число сторон $n=3$. Сумма внутренних углов треугольника составляет $(3 - 2) \times 180^\circ = 1 \times 180^\circ = 180^\circ$. Так как все три угла равны, величина каждого угла равна $\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

б) четырехугольника

Правильный четырехугольник (квадрат) имеет 4 равные стороны и 4 равных угла. Таким образом, число сторон $n=4$. Сумма внутренних углов четырехугольника составляет $(4 - 2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$. Так как все четыре угла равны, величина каждого угла равна $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

в) пятиугольника

Правильный пятиугольник имеет 5 равных сторон и 5 равных углов. Таким образом, число сторон $n=5$. Сумма внутренних углов пятиугольника составляет $(5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Так как все пять углов равны, величина каждого угла равна $\frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

г) шестиугольника

Правильный шестиугольник имеет 6 равных сторон и 6 равных углов. Таким образом, число сторон $n=6$. Сумма внутренних углов шестиугольника составляет $(6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$. Так как все шесть углов равны, величина каждого угла равна $\frac{720^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна $900^{\circ}$. Сколько у него сторон?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника находится по формуле: $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$, где $n$ — количество сторон многоугольника.

Согласно условию задачи, сумма углов $S$ равна $900^\circ$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти количество сторон $n$:

$900^\circ = 180^\circ \cdot (n - 2)$

Для решения этого уравнения разделим обе его части на $180^\circ$:

$n - 2 = \frac{900^\circ}{180^\circ}$

$n - 2 = 5$

Теперь найдем $n$, прибавив 2 к обеим частям уравнения:

$n = 5 + 2$

$n = 7$

Таким образом, у данного многоугольника 7 сторон.

Ответ: 7.

4. Найдите внешние углы правильного:

а) четырехугольника;

б) пятиугольника;

в) шестиугольника;

г) восьмиугольника.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$. В правильном многоугольнике все стороны и все углы равны, следовательно, все внешние углы также равны между собой.

Для того чтобы найти величину одного внешнего угла правильного n-угольника, необходимо разделить общую сумму внешних углов ($360^\circ$) на количество углов (или сторон) $n$.

Формула для расчета внешнего угла правильного n-угольника:

$ \text{Внешний угол} = \frac{360^\circ}{n} $

а) четырехугольника
Правильный четырехугольник — это квадрат, у него 4 стороны ($n=4$).
Величина внешнего угла: $ \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ $.
Ответ: $90^\circ$.

б) пятиугольника
У правильного пятиугольника 5 сторон ($n=5$).
Величина внешнего угла: $ \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ $.
Ответ: $72^\circ$.

в) шестиугольника
У правильного шестиугольника 6 сторон ($n=6$).
Величина внешнего угла: $ \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $.
Ответ: $60^\circ$.

г) восьмиугольника
У правильного восьмиугольника 8 сторон ($n=8$).
Величина внешнего угла: $ \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ $.
Ответ: $45^\circ$.

5. Найдите внешние углы правильного $n$-угольника.

Для того чтобы найти внешние углы правильного n-угольника, необходимо воспользоваться следующими положениями геометрии:

1. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда составляет $360^\circ$.

2. В правильном n-угольнике все стороны равны, все внутренние углы равны, и, как следствие, все внешние углы также равны между собой.

Поскольку правильный n-угольник имеет $n$ вершин, он имеет и $n$ равных внешних углов. Их общая сумма, согласно первому положению, равна $360^\circ$. Чтобы найти величину одного внешнего угла, нужно разделить общую сумму на количество углов, то есть на $n$.

Таким образом, формула для вычисления величины одного внешнего угла ($\alpha_{ext}$) правильного n-угольника выглядит так:
$\alpha_{ext} = \frac{360^\circ}{n}$
где $n$ — количество сторон многоугольника ($n \ge 3$).

Так как все внешние углы равны, эта формула даёт значение для каждого из них.

Ответ: Все внешние углы правильного n-угольника равны между собой, и величина каждого из них составляет $\frac{360^\circ}{n}$.

6. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен:

а) $90^\circ$;

б) $72^\circ$;

в) $60^\circ$;

г) $45^\circ$;

д) $36^\circ$;

е) $24^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством внешних углов выпуклого многоугольника. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда составляет $360^\circ$. В правильном многоугольнике все стороны и углы равны, следовательно, все его внешние углы также равны между собой.

Пусть $n$ — это количество сторон правильного многоугольника, а $\alpha$ — величина одного из его внешних углов. Тогда количество сторон можно найти по формуле:

$n = \frac{360^\circ}{\alpha}$

Применим эту формулу для каждого из заданных значений внешнего угла.

а) Если внешний угол равен $90^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$. Ответ: 4.

б) Если внешний угол равен $72^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$. Ответ: 5.

в) Если внешний угол равен $60^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$. Ответ: 6.

г) Если внешний угол равен $45^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$. Ответ: 8.

д) Если внешний угол равен $36^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$. Ответ: 10.

е) Если внешний угол равен $24^\circ$, то количество сторон многоугольника составляет: $n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$. Ответ: 15.

7. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

По условию задачи, углы четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры углов можно выразить как $1x$ (или просто $x$), $2x$, $3x$ и $4x$.

Составим уравнение, зная, что сумма всех углов равна $360^\circ$:

$x + 2x + 3x + 4x = 360$

Сложим все члены с $x$ в левой части уравнения:

$10x = 360$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{360}{10} = 36^\circ$

Мы нашли коэффициент пропорциональности, который также является величиной наименьшего угла. Теперь вычислим остальные углы:

Первый угол: $1 \cdot x = 1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$

Второй угол: $2 \cdot x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

Третий угол: $3 \cdot x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

Четвертый угол: $4 \cdot x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: $36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ$.

8. Докажите, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$ (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Для доказательства того, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$, воспользуемся методом, который применим к любому простому многоугольнику.

Пусть нам дан невыпуклый четырехугольник ABCD, в котором один из внутренних углов, например, при вершине D, является рефлексным, то есть его градусная мера больше $180^\circ$.

1. Выберем произвольную точку O, расположенную внутри четырехугольника.

2. Соединим точку O отрезками со всеми четырьмя вершинами четырехугольника: A, B, C и D. В результате наш четырехугольник будет разделен на четыре треугольника: $\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$ и $\triangle ODA$.

3. Известно, что сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, общая сумма углов во всех четырех созданных треугольниках будет равна: $4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

4. Эта общая сумма в $720^\circ$ состоит из двух частей:

• Суммы всех внутренних углов четырехугольника ABCD. Каждый внутренний угол четырехугольника складывается из двух углов прилегающих к нему треугольников. Например, угол при вершине A, $\angle A$, равен сумме углов $\angle OAB$ и $\angle OAD$. Это верно для всех вершин, включая и вогнутую вершину D, где внутренний рефлексный угол $\angle D$ равен сумме углов $\angle ODC$ и $\angle ODA$.
• Суммы всех углов, сходящихся в центральной точке O. Углы $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$ и $\angle DOA$ образуют полный круг, и их сумма равна $360^\circ$.

5. Теперь мы можем составить уравнение. Сумма углов четырех треугольников равна сумме внутренних углов четырехугольника плюс сумма углов вокруг точки O. $(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) + (\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA) = 720^\circ$

6. Подставим известное значение суммы углов вокруг точки O: $(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D) + 360^\circ = 720^\circ$

7. Найдем сумму углов четырехугольника: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 720^\circ - 360^\circ$ $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника, как и выпуклого, равна $360^\circ$.

Ответ: Доказано, что сумма внутренних углов невыпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

9. Найдите угол, образованный диагоналя-
ми:

а) $AD$ и $AE$;

б) $AE$ и $AC$;

в) $AE$ и $CF$
правильного шестиугольника $ABCDEF$
(рис. 3.4).

Рис. 3.4

а) AD и AE

Угол между диагоналями AD и AE — это угол $\angle DAE$. Для нахождения этого угла можно использовать свойства правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

Способ 1: Через вписанный угол

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF, вписанный в окружность с центром в точке O. Каждая сторона шестиугольника стягивает в центре окружности угол, равный $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Угол $\angle DAE$ является вписанным углом, который опирается на дугу DE. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, — это $\angle DOE$, и его величина равна $60^\circ$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$.

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Большая диагональ AD правильного шестиугольника проходит через центр описанной окружности O и является её диаметром. Треугольник $\triangle ADE$ вписан в эту окружность, и одна из его сторон (AD) — диаметр. Следовательно, $\triangle ADE$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине, лежащей на окружности, то есть $\angle AED = 90^\circ$.

Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда $DE = a$. Длина большой диагонали $AD$ равна двум радиусам описанной окружности, а радиус равен стороне, то есть $AD = 2a$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADE$ отношение противолежащего катета к гипотенузе для угла $\angle DAE$ равно:

$\sin(\angle DAE) = \frac{DE}{AD} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle DAE = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) AE и AC

Угол между диагоналями AE и AC — это угол $\angle CAE$.

Способ 1: Через вписанный угол

Угол $\angle CAE$ является вписанным углом, опирающимся на дугу CE. Эта дуга состоит из двух дуг, стягиваемых сторонами: дуги CD и дуги DE. Центральный угол $\angle COE$, опирающийся на дугу CE, равен сумме центральных углов, опирающихся на дуги CD и DE:

$\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Вписанный угол $\angle CAE$ равен половине центрального угла $\angle COE$:

$\angle CAE = \frac{1}{2} \angle COE = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ$.

Способ 2: Через разбиение угла при вершине

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$, то есть $\angle FAB = 120^\circ$. Диагонали, выходящие из вершины A (AC, AD, AE), делят этот угол на четыре части: $\angle BAC, \angle CAD, \angle DAE, \angle EAF$.

1. В $\triangle ABC$ стороны $AB=BC$, а $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник равнобедренный, углы при основании $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

2. Аналогично, в равнобедренном $\triangle AFE$ ($AF=FE$, $\angle AFE = 120^\circ$) угол $\angle FAE = 30^\circ$.

3. Из пункта а) известно, что $\angle DAE = 30^\circ$.

4. Угол $\angle CAD$ можно найти, вычтя из полного угла $\angle FAB$ уже найденные углы: $\angle CAD = \angle FAB - \angle BAC - \angle DAE - \angle EAF = 120^\circ - 30^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Искомый угол $\angle CAE$ является суммой углов $\angle CAD$ и $\angle DAE$:

$\angle CAE = \angle CAD + \angle DAE = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

в) AE и CF

Диагонали AE и CF пересекаются внутри шестиугольника. Необходимо найти угол между ними.

Способ 1: Через угол между пересекающимися хордами

Рассмотрим шестиугольник, вписанный в окружность. Диагонали AE и CF являются хордами этой окружности. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между ними.

Пусть P — точка пересечения AE и CF. Угол $\angle FPE$ и вертикальный ему угол $\angle CPA$ опираются на дуги FE и CA соответственно. Величина угла между хордами вычисляется по формуле:

$\text{Угол} = \frac{1}{2} (\text{дуга } FE + \text{дуга } CA)$

Угловая величина дуги FE равна центральному углу $\angle FOE = 60^\circ$.

Угловая величина дуги CA равна сумме центральных углов $\angle COB + \angle BOA = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\text{Угол} = \frac{1}{2} (60^\circ + 120^\circ) = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, диагонали AE и CF пересекаются под прямым углом.

Способ 2: Через параллельные прямые

В правильном шестиугольнике диагональ CF параллельна стороне AB. Следовательно, угол между диагоналями AE и CF равен углу между прямой AE и стороной AB, то есть углу $\angle BAE$.

Полный угол при вершине A, $\angle FAB$, равен $120^\circ$. Как было показано в решении пункта б), угол $\angle FAE = 30^\circ$.

Тогда искомый угол $\angle BAE$ можно найти как разность:

$\angle BAE = \angle FAB - \angle FAE = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

10. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех тупых внешних углов.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся фундаментальным свойством выпуклых многоугольников: сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что существует выпуклый многоугольник, у которого имеется четыре или более тупых внешних угла.

Тупым углом называется угол, градусная мера которого строго больше $90^\circ$. Пусть $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ — это четыре тупых внешних угла нашего предполагаемого многоугольника. Согласно определению тупого угла:
$\beta_1 > 90^\circ$
$\beta_2 > 90^\circ$
$\beta_3 > 90^\circ$
$\beta_4 > 90^\circ$

Найдем сумму величин этих четырех углов. Складывая левые и правые части неравенств, получаем:
$\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ$
Следовательно, их сумма $\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 + \beta_4 > 360^\circ$.

Таким образом, мы получили, что сумма всего лишь четырех внешних углов уже превышает $360^\circ$. Однако, для выпуклого многоугольника все внешние углы являются положительными величинами, и их общая сумма должна быть в точности равна $360^\circ$. Мы пришли к противоречию, так как сумма части положительных слагаемых (в данном случае, четырех углов) не может быть больше, чем их полная сумма (сумма всех внешних углов).

Данное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, у выпуклого многоугольника не может быть четырех или более тупых внешних углов, что и доказывает, что их может быть не более трех.

Ответ: Утверждение доказано. Если бы у выпуклого многоугольника было 4 или более тупых внешних угла (каждый из которых больше $90^\circ$), их сумма превысила бы $360^\circ$. Это невозможно, так как сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Следовательно, у выпуклого многоугольника может быть не более трех тупых внешних углов.

11. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых внутренних углов.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного и свойствами внешних углов выпуклого многоугольника.

Рассмотрим произвольный выпуклый n-угольник. Пусть его внутренние углы равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$. Внешний угол, смежный с внутренним углом $\alpha_i$, равен $\gamma_i = 180^\circ - \alpha_i$.

Ключевым свойством является то, что сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

$\sum_{i=1}^{n} \gamma_i = \gamma_1 + \gamma_2 + \dots + \gamma_n = 360^\circ$

Острый внутренний угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Если внутренний угол $\alpha_i$ является острым, то есть $\alpha_i < 90^\circ$, то соответствующий ему внешний угол $\gamma_i$ будет больше $90^\circ$:

$\gamma_i = 180^\circ - \alpha_i > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Теперь предположим, что у выпуклого многоугольника есть четыре или более острых внутренних угла. Пусть, для определённости, это будут первые четыре угла: $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. Все они меньше $90^\circ$.

Тогда соответствующие им внешние углы $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4$ будут больше $90^\circ$.

Найдем сумму этих четырех внешних углов:

$\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3 + \gamma_4 > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Мы получили, что сумма только четырех из $n$ внешних углов уже превышает $360^\circ$. Однако сумма всех $n$ внешних углов должна быть в точности равна $360^\circ$. Поскольку все внешние углы выпуклого многоугольника положительны, это создает противоречие. Невозможно, чтобы часть суммы была больше всей суммы.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. У выпуклого многоугольника не может быть четырех или более острых внутренних углов.

Таким образом, максимальное количество острых внутренних углов у выпуклого многоугольника равно трем. Примером такого многоугольника является любой остроугольный треугольник, у которого все три угла острые.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Каждому острому внутреннему углу (меньше $90^\circ$) соответствует внешний угол, который больше $90^\circ$. Если бы существовало четыре острых внутренних угла, то сумма соответствующих им четырех внешних углов была бы больше $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$, что противоречит свойству о сумме всех внешних углов. Следовательно, у выпуклого многоугольника не может быть более трех острых внутренних углов.