Страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сравните длины ломаных $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ на рисунке 1.6, не измеряя их.

а)

б)

Рис. 1.6

а) Для сравнения длин ломаных воспользуемся тем, что они нанесены на клетчатую бумагу. Примем сторону клетки за 1 условную единицу. Длину каждого отрезка (звена) ломаной найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого — это смещения по горизонтали и вертикали.

Для ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (длина $L_1$):
Звено $A_1B_1$ имеет проекции на оси (1, 2), его длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $B_1C_1$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Звено $C_1D_1$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_1 = \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Для ломаной $A_2B_2C_2D_2$ (длина $L_2$):
Звено $A_2B_2$ имеет проекции (1, 2), его длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $B_2C_2$ имеет проекции (1, 3), его длина равна $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
Звено $C_2D_2$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_2 = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Теперь сравним $L_1 = 3\sqrt{5}$ и $L_2 = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Вычтем из обеих длин $2\sqrt{5}$, тогда нам останется сравнить $\sqrt{5}$ и $\sqrt{10}$. Так как $5 < 10$, то $\sqrt{5} < \sqrt{10}$. Это означает, что $3\sqrt{5} < 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$, и, следовательно, $L_1 < L_2$.

Ответ: длина ломаной $A_2B_2C_2D_2$ больше длины ломаной $A_1B_1C_1D_1$.

б) Аналогично пункту а) вычислим длины звеньев каждой ломаной.

Для ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (длина $L_1$):
Звено $A_1B_1$: проекции (2, 2), длина $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Звено $B_1C_1$: проекции (1, 2), длина $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $C_1D_1$: проекции (2, 1), длина $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_1 = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$.

Для ломаной $A_2B_2C_2D_2$ (длина $L_2$):
Звено $A_2B_2$: проекции (2, 4), длина $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Звено $B_2C_2$: проекции (1, 3), длина $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
Звено $C_2D_2$: проекции (2, 2), длина $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Суммарная длина: $L_2 = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2\sqrt{2}$.

Сравним длины $L_1 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$ и $L_2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Можно заметить, что $L_2 = L_1 + \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > 0$, то очевидно, что $L_2 > L_1$.

Ответ: длина ломаной $A_2B_2C_2D_2$ больше длины ломаной $A_1B_1C_1D_1$.

9. Сколько ломаных:

а) длиной 4;

б) длиной 5, проходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяют точки $A$ и $B$ (рис. 1.7)?

а)

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одного квадрата сетки за единицу. Пусть точка A имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка B — $(x_B, y_B)$. Ломаная, проходящая по сторонам сетки, состоит из единичных отрезков, направленных вправо (R), влево (L), вверх (U) или вниз (D).

Для обоих случаев (а и б) относительное положение точек A и B одинаково. Сместим начало координат так, чтобы точка A находилась в (0, 0). Тогда точка B будет иметь координаты (2, 1), так как для перехода из A в B нужно сместиться на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Кратчайшее расстояние (длина кратчайшей ломаной) между точками A и B по сетке равно сумме модулей разностей координат (манхэттенское расстояние): $L_{min} = |2 - 0| + |1 - 0| = 3$.

Любая ломаная, соединяющая A и B, должна как минимум содержать 2 шага вправо (R) и 1 шаг вверх (U). Любой другой шаг (например, влево) должен быть скомпенсирован шагом в противоположном направлении (вправо), чтобы в итоге оказаться в точке B. Каждая такая пара шагов (L и R, или D и U) увеличивает общую длину пути на 2. Таким образом, любая ломаная, соединяющая A и B, имеет длину $L = L_{min} + 2k = 3 + 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

а)

Требуется найти количество ломаных длиной 4. Проверим, может ли ломаная, соединяющая A и B, иметь такую длину. Используем выведенную формулу: $L = 3 + 2k$.

Подставим $L=4$: $4 = 3 + 2k$.

Отсюда $2k = 1$, или $k = 1/2$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, не существует ломаных длиной 4, соединяющих точки A и B.

Ответ: 0.

б)

Требуется найти количество ломаных длиной 5. Снова используем формулу $L = 3 + 2k$.

Подставим $L=5$: $5 = 3 + 2k$.

Отсюда $2k = 2$, или $k = 1$.

Это означает, что искомые ломаные состоят из минимального набора шагов (два вправо и один вверх) и одной дополнительной пары шагов в противоположных направлениях.

Рассмотрим два случая:

1. Дополнительная пара шагов — "вправо-влево" (R и L).Тогда полный набор шагов для ломаной будет: три шага вправо (R), один шаг влево (L) и один шаг вверх (U). Общая длина — 5 шагов. Нужно найти количество различных последовательностей (перестановок с повторениями) из набора {R, R, R, L, U}.Число таких ломаных равно $N_1 = \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = 20$.

2. Дополнительная пара шагов — "вверх-вниз" (U и D).Тогда полный набор шагов для ломаной будет: два шага вправо (R), два шага вверх (U) и один шаг вниз (D). Общая длина — 5 шагов. Нужно найти количество различных последовательностей из набора {R, R, U, U, D}.Число таких ломаных равно $N_2 = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4} = 30$.

Общее количество ломаных длиной 5 равно сумме путей, найденных в обоих случаях:$N = N_1 + N_2 = 20 + 30 = 50$.

Ответ: 50.

10. Сколько ломаных длиной 6, проходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяют точки $A$, $B$ и $C$ (рис. 1.8)?

Рис. 1.8

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка А находится в начале координат (0,0). Исходя из расположения точек на сетке из единичных квадратов, координаты точек B и C будут B(2,1) и C(3,3).

Ломаная линия должна проходить по сторонам сетки, что означает, что длина пути измеряется как сумма длин горизонтальных и вертикальных отрезков (манхэттенское расстояние). Общая длина ломаной по условию равна 6.

Найдем кратчайшие расстояния между точками A, B и C:

Кратчайшее расстояние от A(0,0) до B(2,1) равно $d(A,B) = |2-0| + |1-0| = 3$.

Кратчайшее расстояние от B(2,1) до C(3,3) равно $d(B,C) = |3-2| + |3-1| = 1+2 = 3$.

Кратчайшее расстояние от A(0,0) до C(3,3) равно $d(A,C) = |3-0| + |3-0| = 6$.

Ломаная должна соединять все три точки. Рассмотрим возможные последовательности их обхода. Суммарная длина пути должна быть равна 6.Если обходить точки в порядке A-B-C, минимальная длина пути равна $d(A,B) + d(B,C) = 3 + 3 = 6$. Это соответствует условию задачи. Это означает, что путь от A до B и путь от B до C должны быть кратчайшими.

Если рассмотреть другой порядок, например, A-C-B, то минимальная длина пути будет $d(A,C) + d(C,B) = 6 + 3 = 9$, что больше 6. Любой другой порядок, в котором B не является средней точкой между A и C, также даст длину пути больше 6.

Таким образом, все искомые ломаные должны быть кратчайшими путями, идущими от A к C через B (или от C к A через B, что геометрически представляет те же самые ломаные). Задача сводится к подсчету количества таких путей.

Количество кратчайших путей из A(0,0) в B(2,1) равно числу способов сделать 2 шага вправо и 1 шаг вверх. Это число сочетаний: $N_{A \to B} = \binom{2+1}{1} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$.

Количество кратчайших путей из B(2,1) в C(3,3) равно числу способов сделать 1 шаг вправо ($3-2=1$) и 2 шага вверх ($3-1=2$). Это число сочетаний: $N_{B \to C} = \binom{1+2}{1} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$.

Общее число различных ломаных равно произведению числа путей на каждом из участков, так как выбор пути на первом участке не зависит от выбора пути на втором.Общее число ломаных = $N_{A \to B} \times N_{B \to C} = 3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9

11. Изобразите:

а) четырехстороннюю ломаную;

б) шестистороннюю ломаную, проходящую через все данные точки на рисунке 1.9.

а) б)

Рис. 1.9

а)

Для решения этой задачи, известной как «головоломка о девяти точках», необходимо рисовать отрезки ломаной так, чтобы они выходили за пределы воображаемого квадрата, образованного точками. Четырехсторонняя ломаная означает, что она должна состоять ровно из четырех отрезков, соединенных последовательно. Ниже представлено одно из возможных решений.

Путь ломаной можно описать так:

1. Первый отрезок начинается в левой нижней точке, проходит горизонтально вправо через две соседние точки в этом же ряду и выходит за пределы сетки.
2. Второй отрезок начинается из конца первого, идет по диагонали вверх и влево, проходя через среднюю точку правого столбца и крайнюю правую точку верхнего ряда.
3. Третий отрезок начинается из конца второго, идет по диагонали вниз и влево, проходя через центральную точку верхнего ряда и центральную точку всей сетки.
4. Четвертый отрезок начинается из конца третьего, идет вертикально вверх, проходя через крайнюю левую точку среднего ряда и крайнюю левую точку верхнего ряда.

Ответ: Изображение выше демонстрирует одно из возможных решений.

б)

В этой задаче требуется соединить 12 точек, расположенных в виде сетки 3x4, с помощью шестисторонней ломаной. В отличие от предыдущей задачи, здесь можно найти решение, не выходя за пределы прямоугольника, образованного точками. Ломаная будет состоять из шести последовательно соединенных отрезков.

Одно из возможных решений строится следующим образом:

1. Первый отрезок соединяет три точки левого столбца, двигаясь от верхней точки к нижней.
2. Второй отрезок соединяет все четыре точки нижнего ряда, двигаясь от крайней левой к крайней правой.
3. Третий отрезок соединяет три точки правого столбца, двигаясь от нижней точки к верхней.
4. Четвертый отрезок соединяет три крайние правые точки верхнего ряда, двигаясь от правой к левой.
5. Пятый отрезок является вертикальным и соединяет вторую точку верхнего ряда со второй точкой среднего ряда.
6. Шестой, заключительный отрезок, является горизонтальным и соединяет вторую точку среднего ряда с третьей точкой среднего ряда.

Ответ: Изображение выше демонстрирует одно из возможных решений.