Номер 8, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сравните длины ломаных $A_1B_1C_1D_1$ и $A_2B_2C_2D_2$ на рисунке 1.6, не измеряя их.

а)

б)

Рис. 1.6

а) Для сравнения длин ломаных воспользуемся тем, что они нанесены на клетчатую бумагу. Примем сторону клетки за 1 условную единицу. Длину каждого отрезка (звена) ломаной найдём по теореме Пифагора как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого — это смещения по горизонтали и вертикали.

Для ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (длина $L_1$):
Звено $A_1B_1$ имеет проекции на оси (1, 2), его длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $B_1C_1$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Звено $C_1D_1$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_1 = \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Для ломаной $A_2B_2C_2D_2$ (длина $L_2$):
Звено $A_2B_2$ имеет проекции (1, 2), его длина равна $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $B_2C_2$ имеет проекции (1, 3), его длина равна $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
Звено $C_2D_2$ имеет проекции (2, 1), его длина равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_2 = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$.

Теперь сравним $L_1 = 3\sqrt{5}$ и $L_2 = 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Вычтем из обеих длин $2\sqrt{5}$, тогда нам останется сравнить $\sqrt{5}$ и $\sqrt{10}$. Так как $5 < 10$, то $\sqrt{5} < \sqrt{10}$. Это означает, что $3\sqrt{5} < 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$, и, следовательно, $L_1 < L_2$.

Ответ: длина ломаной $A_2B_2C_2D_2$ больше длины ломаной $A_1B_1C_1D_1$.

б) Аналогично пункту а) вычислим длины звеньев каждой ломаной.

Для ломаной $A_1B_1C_1D_1$ (длина $L_1$):
Звено $A_1B_1$: проекции (2, 2), длина $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Звено $B_1C_1$: проекции (1, 2), длина $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Звено $C_1D_1$: проекции (2, 1), длина $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.
Суммарная длина: $L_1 = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$.

Для ломаной $A_2B_2C_2D_2$ (длина $L_2$):
Звено $A_2B_2$: проекции (2, 4), длина $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Звено $B_2C_2$: проекции (1, 3), длина $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
Звено $C_2D_2$: проекции (2, 2), длина $\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Суммарная длина: $L_2 = 2\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2\sqrt{2}$.

Сравним длины $L_1 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5}$ и $L_2 = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Можно заметить, что $L_2 = L_1 + \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > 0$, то очевидно, что $L_2 > L_1$.

Ответ: длина ломаной $A_2B_2C_2D_2$ больше длины ломаной $A_1B_1C_1D_1$.