Номер 2, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Укажите, какие из представленных на рисунке 2.8 фигур являются:

а) выпуклыми многоугольниками;

1)

3)

б) невыпуклыми многоугольниками.

2)

4)

5)

6)

7)

Рис. 2.8

Для решения этой задачи необходимо сначала определить, какие из представленных фигур являются многоугольниками, а затем классифицировать их на выпуклые и невыпуклые.

Многоугольник — это плоская фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. Фигуры 1, 2, 3 и 4 являются многоугольниками. Фигуры 5 и 6 не являются многоугольниками в строгом смысле, так как это области с отверстиями (их граница состоит из нескольких несвязанных частей). Фигура 7 не является многоугольником, так как это незамкнутая линия.

а) выпуклыми многоугольниками

Многоугольник называется выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону. Эквивалентное определение: все внутренние углы выпуклого многоугольника меньше $180^\circ$. Также отрезок, соединяющий любые две точки выпуклого многоугольника, полностью ему принадлежит.
Проанализируем фигуры, являющиеся многоугольниками:
Фигура 1: Это пятиугольник. Все его внутренние углы меньше $180^\circ$ (три угла по $90^\circ$ и два по $135^\circ$). Следовательно, это выпуклый многоугольник.
Фигура 3: Это треугольник. Любой треугольник является выпуклым многоугольником, так как сумма его углов равна $180^\circ$, а значит, каждый угол меньше $180^\circ$.
Фигуры 2 и 4 имеют внутренние углы, большие $180^\circ$, поэтому они не являются выпуклыми.
Ответ: выпуклыми многоугольниками являются фигуры 1 и 3.

б) невыпуклыми многоугольниками

Многоугольник называется невыпуклым (или вогнутым), если он не является выпуклым. У невыпуклого многоугольника есть хотя бы один внутренний угол, который больше $180^\circ$. Можно провести отрезок между двумя точками внутри такого многоугольника, который будет частично проходить вне его.
Проанализируем фигуры, являющиеся многоугольниками:
Фигура 2: Это шестиугольник. Он имеет один внутренний угол, равный $270^\circ$, что больше $180^\circ$. Следовательно, это невыпуклый многоугольник.
Фигура 4: Это двенадцатиугольник. Он имеет четыре внутренних угла, равных $270^\circ$. Следовательно, это невыпуклый многоугольник.
Фигуры 1 и 3 являются выпуклыми.
Ответ: невыпуклыми многоугольниками являются фигуры 2 и 4.