Номер 9, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Сколько всего диагоналей имеет $n$-угольник?

Чтобы найти общее количество диагоналей в n-угольнике, можно рассуждать следующим образом. Диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника.

Рассмотрим одну из $n$ вершин. Из этой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних с ней. Таким образом, из каждой вершины выходит $n - 3$ диагонали. Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, можно было бы предположить, что общее число диагоналей равно $n(n - 3)$. Однако при таком подсчете каждая диагональ (например, соединяющая вершину A и C) учитывается дважды: один раз как выходящая из вершины A, и второй раз — как выходящая из вершины C. Поэтому полученное произведение необходимо разделить на 2.

К этой же формуле можно прийти и с помощью комбинаторики. Общее число отрезков, которые можно провести между любыми двумя из $n$ вершин, равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется как $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Это общее число включает в себя как диагонали, так и $n$ сторон многоугольника. Чтобы найти количество диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть количество сторон:

Количество диагоналей = $\frac{n(n-1)}{2} - n$

Упростим это выражение:

$\frac{n(n-1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{n^2 - n - 2n}{2} = \frac{n^2 - 3n}{2} = \frac{n(n-3)}{2}$

Оба способа приводят к одной и той же итоговой формуле. Проверим ее для нескольких простых многоугольников:

• Для треугольника ($n=3$): $\frac{3(3-3)}{2} = 0$ диагоналей.
• Для четырехугольника ($n=4$): $\frac{4(4-3)}{2} = 2$ диагонали.
• Для пятиугольника ($n=5$): $\frac{5(5-3)}{2} = 5$ диагоналей.

Ответ: Количество диагоналей в n-угольнике вычисляется по формуле $\frac{n(n-3)}{2}$, где $n$ — число вершин многоугольника ($n \ge 3$).