Номер 8, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Может ли многоугольник иметь:

а) одну диагональ;

б) три диагонали;

в) четыре диагонали;

г) пять диагоналей?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой для вычисления количества диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

где $n$ — это количество вершин многоугольника. Для существования такого многоугольника необходимо, чтобы при заданном значении $D$ мы могли найти целое число $n \ge 3$.
Преобразуем формулу в квадратное уравнение относительно $n$:

$2D = n(n-3)$

$n^2 - 3n - 2D = 0$

Мы будем решать это уравнение для каждого из предложенных случаев, ища целочисленные решения $n \ge 3$.

а) одну диагональ
Пусть $D = 1$. Подставим это значение в уравнение $n^2 - 3n - 2D = 0$:
$n^2 - 3n - 2(1) = 0 \implies n^2 - 3n - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $d = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
Так как дискриминант $d=17$ не является полным квадратом целого числа, уравнение не имеет рациональных корней, а значит и целочисленных. Следовательно, многоугольника с одной диагональю не существует.
Ответ: нет, не может.

б) три диагонали
Пусть $D = 3$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(3) = 0 \implies n^2 - 3n - 6 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33$.
Дискриминант $d=33$ не является полным квадратом, поэтому целочисленных решений для $n$ нет. Следовательно, многоугольника с тремя диагоналями не существует.
Ответ: нет, не может.

в) четыре диагонали
Пусть $D = 4$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(4) = 0 \implies n^2 - 3n - 8 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41$.
Дискриминант $d=41$ не является полным квадратом, поэтому целочисленных решений для $n$ нет. Следовательно, многоугольника с четырьмя диагоналями не существует.
Ответ: нет, не может.

г) пять диагоналей
Пусть $D = 5$. Подставим в уравнение:
$n^2 - 3n - 2(5) = 0 \implies n^2 - 3n - 10 = 0$
Дискриминант: $d = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Так как дискриминант является полным квадратом, уравнение имеет рациональные корни. Найдем их:
$n = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Получаем два корня: $n_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $n_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
Количество вершин многоугольника не может быть отрицательным ($n>0$), поэтому корень $n_1=-2$ не подходит. Корень $n_2=5$ удовлетворяет условию $n \ge 3$.
Следовательно, существует многоугольник с 5 диагоналями — это пятиугольник.
Проверка: для пятиугольника ($n=5$) число диагоналей равно $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: да, может. Это пятиугольник.