Номер 12, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. На клетчатой бумаге изобразите какой-нибудь четырехугольник, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$ и $D$ (рис. 2.11). Сколько таких четырехугольников?

Рис. 2.11

Чтобы изобразить четырехугольник, нужно соединить данные четыре точки A, B, C и D отрезками в определенной последовательности. Выбор последовательности определяет форму четырехугольника. Например, если соединить точки в порядке A → B → D → C → A, мы получим четырехугольник ABDC.

Ниже на клетчатой бумаге изображен один из возможных четырехугольников — ABDC.

Ответ: Пример четырехугольника (ABDC) изображен на рисунке выше.

Сколько таких четырехугольников?

Четырехугольник определяется циклическим порядком его четырех вершин. Для четырех различных точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, количество различных способов их соединения в замкнутую ломаную (четырехугольник) равно 3. Это можно вычислить по комбинаторной формуле для числа циклов на $n$ вершинах: $\frac{(n-1)!}{2}$. Для $n=4$ вершин получаем $\frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Для данных точек A, B, C и D существуют три уникальных порядка обхода вершин, которые приводят к трем различным четырехугольникам. В данном случае точка D лежит внутри треугольника, образованного точками A, B и C, и все три возможных четырехугольника являются простыми (несамопересекающимися) и вогнутыми.

Вот все три возможных четырехугольника:

1. Четырехугольник ABCD (последовательность вершин A → B → C → D → A):

2. Четырехугольник ABDC (последовательность вершин A → B → D → C → A):

3. Четырехугольник ACBD (последовательность вершин A → C → B → D → A):

Все три четырехугольника различны, так как у них разные наборы сторон.

Ответ: 3.