Номер 10, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Существует ли многоугольник:

a) число диагоналей которого равно числу его сторон;

б) число диагоналей которого меньше числа его сторон;

в) число диагоналей которого больше числа его сторон?

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения числа диагоналей $D$ в выпуклом $n$-угольнике (многоугольнике с $n$ сторонами):

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Здесь $n$ — это число сторон (и вершин) многоугольника. По определению, многоугольник должен иметь как минимум 3 стороны, поэтому $n \ge 3$, где $n$ — целое число.

а) число диагоналей которого равно числу его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется равенство $D=n$.

Подставим формулу для числа диагоналей в это равенство:

$\frac{n(n-3)}{2} = n$

Поскольку $n \ge 3$, то $n \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$\frac{n-3}{2} = 1$

$n - 3 = 2$

$n = 5$

Мы получили целое число $n=5$, которое удовлетворяет условию $n \ge 3$. Это означает, что многоугольник с 5 сторонами (пятиугольник) имеет число диагоналей, равное числу его сторон.

Проверка: у пятиугольника $n=5$ сторон. Число диагоналей $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$. Равенство выполняется.

Ответ: да, существует. Это пятиугольник.

б) число диагоналей которого меньше числа его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $D < n$.

Составим неравенство:

$\frac{n(n-3)}{2} < n$

Поскольку $n \ge 3$, $n$ является положительным числом, поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $n$, не меняя знака неравенства:

$\frac{n-3}{2} < 1$

$n - 3 < 2$

$n < 5$

С учетом исходного условия $n \ge 3$, мы получаем двойное неравенство для $n$: $3 \le n < 5$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это $n=3$ и $n=4$.

- Для $n=3$ (треугольник): число диагоналей $D = \frac{3(3-3)}{2} = 0$. Число сторон равно 3. $0 < 3$. Условие выполняется.

- Для $n=4$ (четырехугольник): число диагоналей $D = \frac{4(4-3)}{2} = 2$. Число сторон равно 4. $2 < 4$. Условие выполняется.

Ответ: да, существуют. Это треугольник и четырехугольник.

в) число диагоналей которого больше числа его сторон

Нам нужно определить, существует ли такое целое $n \ge 3$, для которого выполняется неравенство $D > n$.

Составим неравенство:

$\frac{n(n-3)}{2} > n$

Разделим обе части на положительное число $n$:

$\frac{n-3}{2} > 1$

$n - 3 > 2$

$n > 5$

Это означает, что любой многоугольник, у которого число сторон больше 5, будет иметь больше диагоналей, чем сторон. Например, шестиугольник ($n=6$), семиугольник ($n=7$) и так далее.

Проверка для $n=6$ (шестиугольник): число диагоналей $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$. Число сторон равно 6. $9 > 6$. Условие выполняется.

Ответ: да, существуют. Это любой многоугольник, у которого больше 5 сторон (например, шестиугольник, семиугольник и т.д.).