Номер 6, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. На сколько треугольников делится выпуклый:

а) четырехугольник;

б) пятиугольник;

в) шестиугольник;

г) $n$-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

а) четырехугольник

Выпуклый четырехугольник имеет 4 вершины. Если выбрать одну вершину и провести из нее все возможные диагонали, то можно провести только одну диагональ (к противоположной вершине, так как к двум соседним диагонали провести нельзя). Эта одна диагональ разделит четырехугольник на 2 треугольника.

Ответ: 2.

б) пятиугольник

Выпуклый пятиугольник имеет 5 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к вершинам, которые не являются соседними. Таких вершин две. Следовательно, из одной вершины можно провести 2 диагонали. Эти две диагонали разделят пятиугольник на 3 треугольника.

Ответ: 3.

в) шестиугольник

Выпуклый шестиугольник имеет 6 вершин. Из одной вершины можно провести диагонали к трем другим вершинам (исключая саму себя и двух соседей). Эти три диагонали разделят шестиугольник на 4 треугольника.

Ответ: 4.

г) n-угольник

Рассмотрим общий случай для выпуклого $n$-угольника, у которого $n$ вершин. Выберем произвольную вершину. Из этой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних с ней. Таким образом, количество вершин, к которым можно провести диагонали, равно $n - 1 - 2 = n-3$.

Каждая из этих $n-3$ диагоналей вместе со сторонами исходного многоугольника образует треугольники. Если пронумеровать вершины от 1 до $n$ и провести диагонали из вершины 1, то образуются треугольники с вершинами $(1, 2, 3), (1, 3, 4), \dots, (1, n-1, n)$. Общее количество таких треугольников составляет $n-2$.

Таким образом, количество треугольников, на которые выпуклый $n$-угольник делится диагоналями, проведенными из одной вершины, равно $n-2$.

Проверим формулу для предыдущих случаев:
Для четырехугольника: $n=4 \implies 4-2=2$ треугольника.
Для пятиугольника: $n=5 \implies 5-2=3$ треугольника.
Для шестиугольника: $n=6 \implies 6-2=4$ треугольника.

Ответ: $n-2$.