Номер 4, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Являются ли многоугольники, изображенные на рисунке 2.10, правильными?

а)

б)

Рис. 2.10

а) Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой. Чтобы определить, является ли шестиугольник на рисунке а) правильным, необходимо проверить, равны ли все его стороны. Примем длину стороны одной клетки сетки за 1 единицу.

У данного шестиугольника есть две горизонтальные стороны (верхняя и нижняя). Длина каждой из них равна 2 единицам. Остальные четыре стороны являются наклонными. Длину каждой наклонной стороны можно найти по теореме Пифагора. Каждая такая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны 1 единице. Длина наклонной стороны: $c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Таким образом, у шестиугольника есть стороны длиной 2 и стороны длиной $\sqrt{2}$. Поскольку $2 \neq \sqrt{2}$, стороны многоугольника не равны между собой. Так как многоугольник не является равносторонним, он не может быть правильным.

Ответ: Нет, многоугольник на рисунке а) не является правильным, так как не все его стороны равны.

б) Рассмотрим восьмиугольник, изображенный на рисунке б). Аналогично предыдущему пункту, проверим равенство его сторон. Примем сторону клетки за 1 единицу.

У этого восьмиугольника есть четыре стороны, которые параллельны линиям сетки (две горизонтальные и две вертикальные). Длина каждой из этих сторон равна 2 единицам. Также у многоугольника есть четыре наклонные стороны по углам. Длина каждой из них, как и в предыдущем случае, является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами длиной 1. Длина наклонной стороны: $c = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Следовательно, у восьмиугольника есть стороны длиной 2 и стороны длиной $\sqrt{2}$. Так как стороны многоугольника не равны между собой ($2 \neq \sqrt{2}$), он не является равносторонним, а значит, и не является правильным.

Ответ: Нет, многоугольник на рисунке б) не является правильным, так как не все его стороны равны.