Номер 10, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Сколько ломаных длиной 6, проходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяют точки $A$, $B$ и $C$ (рис. 1.8)?

Рис. 1.8

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка А находится в начале координат (0,0). Исходя из расположения точек на сетке из единичных квадратов, координаты точек B и C будут B(2,1) и C(3,3).

Ломаная линия должна проходить по сторонам сетки, что означает, что длина пути измеряется как сумма длин горизонтальных и вертикальных отрезков (манхэттенское расстояние). Общая длина ломаной по условию равна 6.

Найдем кратчайшие расстояния между точками A, B и C:

Кратчайшее расстояние от A(0,0) до B(2,1) равно $d(A,B) = |2-0| + |1-0| = 3$.

Кратчайшее расстояние от B(2,1) до C(3,3) равно $d(B,C) = |3-2| + |3-1| = 1+2 = 3$.

Кратчайшее расстояние от A(0,0) до C(3,3) равно $d(A,C) = |3-0| + |3-0| = 6$.

Ломаная должна соединять все три точки. Рассмотрим возможные последовательности их обхода. Суммарная длина пути должна быть равна 6.Если обходить точки в порядке A-B-C, минимальная длина пути равна $d(A,B) + d(B,C) = 3 + 3 = 6$. Это соответствует условию задачи. Это означает, что путь от A до B и путь от B до C должны быть кратчайшими.

Если рассмотреть другой порядок, например, A-C-B, то минимальная длина пути будет $d(A,C) + d(C,B) = 6 + 3 = 9$, что больше 6. Любой другой порядок, в котором B не является средней точкой между A и C, также даст длину пути больше 6.

Таким образом, все искомые ломаные должны быть кратчайшими путями, идущими от A к C через B (или от C к A через B, что геометрически представляет те же самые ломаные). Задача сводится к подсчету количества таких путей.

Количество кратчайших путей из A(0,0) в B(2,1) равно числу способов сделать 2 шага вправо и 1 шаг вверх. Это число сочетаний: $N_{A \to B} = \binom{2+1}{1} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$.

Количество кратчайших путей из B(2,1) в C(3,3) равно числу способов сделать 1 шаг вправо ($3-2=1$) и 2 шага вверх ($3-1=2$). Это число сочетаний: $N_{B \to C} = \binom{1+2}{1} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3$.

Общее число различных ломаных равно произведению числа путей на каждом из участков, так как выбор пути на первом участке не зависит от выбора пути на втором.Общее число ломаных = $N_{A \to B} \times N_{B \to C} = 3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9