Номер 9, страница 12 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Сколько ломаных:

а) длиной 4;

б) длиной 5, проходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяют точки $A$ и $B$ (рис. 1.7)?

а)

Для решения задачи введем систему координат, приняв сторону одного квадрата сетки за единицу. Пусть точка A имеет координаты $(x_A, y_A)$, а точка B — $(x_B, y_B)$. Ломаная, проходящая по сторонам сетки, состоит из единичных отрезков, направленных вправо (R), влево (L), вверх (U) или вниз (D).

Для обоих случаев (а и б) относительное положение точек A и B одинаково. Сместим начало координат так, чтобы точка A находилась в (0, 0). Тогда точка B будет иметь координаты (2, 1), так как для перехода из A в B нужно сместиться на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Кратчайшее расстояние (длина кратчайшей ломаной) между точками A и B по сетке равно сумме модулей разностей координат (манхэттенское расстояние): $L_{min} = |2 - 0| + |1 - 0| = 3$.

Любая ломаная, соединяющая A и B, должна как минимум содержать 2 шага вправо (R) и 1 шаг вверх (U). Любой другой шаг (например, влево) должен быть скомпенсирован шагом в противоположном направлении (вправо), чтобы в итоге оказаться в точке B. Каждая такая пара шагов (L и R, или D и U) увеличивает общую длину пути на 2. Таким образом, любая ломаная, соединяющая A и B, имеет длину $L = L_{min} + 2k = 3 + 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

а)

Требуется найти количество ломаных длиной 4. Проверим, может ли ломаная, соединяющая A и B, иметь такую длину. Используем выведенную формулу: $L = 3 + 2k$.

Подставим $L=4$: $4 = 3 + 2k$.

Отсюда $2k = 1$, или $k = 1/2$.

Поскольку $k$ должно быть целым числом, не существует ломаных длиной 4, соединяющих точки A и B.

Ответ: 0.

б)

Требуется найти количество ломаных длиной 5. Снова используем формулу $L = 3 + 2k$.

Подставим $L=5$: $5 = 3 + 2k$.

Отсюда $2k = 2$, или $k = 1$.

Это означает, что искомые ломаные состоят из минимального набора шагов (два вправо и один вверх) и одной дополнительной пары шагов в противоположных направлениях.

Рассмотрим два случая:

1. Дополнительная пара шагов — "вправо-влево" (R и L).Тогда полный набор шагов для ломаной будет: три шага вправо (R), один шаг влево (L) и один шаг вверх (U). Общая длина — 5 шагов. Нужно найти количество различных последовательностей (перестановок с повторениями) из набора {R, R, R, L, U}.Число таких ломаных равно $N_1 = \frac{5!}{3! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{6} = 20$.

2. Дополнительная пара шагов — "вверх-вниз" (U и D).Тогда полный набор шагов для ломаной будет: два шага вправо (R), два шага вверх (U) и один шаг вниз (D). Общая длина — 5 шагов. Нужно найти количество различных последовательностей из набора {R, R, U, U, D}.Число таких ломаных равно $N_2 = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{120}{4} = 30$.

Общее количество ломаных длиной 5 равно сумме путей, найденных в обоих случаях:$N = N_1 + N_2 = 20 + 30 = 50$.

Ответ: 50.