Вопросы, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?

2. Какой угол называется внешним углом выпуклого многоугольника?

3. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?

1. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?
Любой выпуклый n-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется как произведение количества таких треугольников на $180^\circ$.
Формула для вычисления суммы внутренних углов (S) выпуклого n-угольника:
$S = 180^\circ \cdot (n-2)$, где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника.
Например:
- Для треугольника ($n=3$): $S = 180^\circ \cdot (3-2) = 180^\circ$.
- Для четырехугольника ($n=4$): $S = 180^\circ \cdot (4-2) = 360^\circ$.
- Для пятиугольника ($n=5$): $S = 180^\circ \cdot (5-2) = 540^\circ$.
Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна $180^\circ(n-2)$.

2. Какой угол называется внешним углом выпуклого многоугольника?
Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника при этой вершине. Он образуется одной из сторон многоугольника и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине всегда равна $180^\circ$.
Ответ: Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине.

3. Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
Сумма внутреннего и внешнего угла при каждой вершине выпуклого n-угольника равна $180^\circ$. Всего в n-угольнике $n$ вершин, поэтому сумма всех внутренних и всех внешних углов равна $n \cdot 180^\circ$.
Мы знаем, что сумма внутренних углов равна $180^\circ(n-2)$.
Чтобы найти сумму внешних углов, нужно из общей суммы вычесть сумму внутренних углов:
Сумма внешних углов = $n \cdot 180^\circ - 180^\circ(n-2) = 180^\circ \cdot n - 180^\circ \cdot n + 180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.
Таким образом, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от числа его сторон и всегда постоянна.
Ответ: Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.