Страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Найдите сумму всех трех внешних углов треугольника по одному при каждой вершине.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$. Поскольку треугольник является выпуклым многоугольником, эта теорема применима и к нему. Докажем это утверждение для треугольника.

Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно теореме о сумме углов треугольника, их сумма составляет $180^\circ$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Обозначим внешние углы, соответствующие внутренним углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, как $\alpha'$, $\beta'$ и $\gamma'$. Тогда:

$\alpha' = 180^\circ - \alpha$
$\beta' = 180^\circ - \beta$
$\gamma' = 180^\circ - \gamma$

Найдем сумму этих трех внешних углов:
$S = \alpha' + \beta' + \gamma' = (180^\circ - \alpha) + (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma)$

Перегруппируем слагаемые в выражении:
$S = (180^\circ + 180^\circ + 180^\circ) - (\alpha + \beta + \gamma)$
$S = 540^\circ - (\alpha + \beta + \gamma)$

Так как мы знаем, что сумма внутренних углов $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, подставим это значение в наше уравнение:
$S = 540^\circ - 180^\circ$
$S = 360^\circ$

Таким образом, сумма всех трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$, независимо от вида треугольника.

Ответ: $360^\circ$

16. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AD$ и $BE$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$. Найдите угол $AOB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Из условия задачи мы знаем, что $\angle C = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов: $\angle A + \angle B + 60^\circ = 180^\circ$.

Выразим сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

По условию, $AD$ и $BE$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Биссектриса делит угол пополам. Точка $O$ является точкой пересечения этих биссектрис. Следовательно, в треугольнике $AOB$ углы при вершинах $A$ и $B$ будут равны: $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его углов также равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$: $\angle AOB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\angle AOB + \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ$.

Ранее мы нашли, что $\angle A + \angle B = 120^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $\angle AOB + \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ$. $\angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

17. Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, два его угла равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Пусть $\angle B = 54^\circ$ и $\angle C = 66^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle A$:

$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Проведем высоты из вершин B и C. Пусть $BH_B$ — высота, опущенная из вершины B на сторону AC, и $CH_C$ — высота, опущенная из вершины C на сторону AB. По определению высоты, $BH_B$ перпендикулярна AC, а $CH_C$ перпендикулярна AB. Это означает, что $\angle BH_BC = 90^\circ$ и $\angle CH_CA = 90^\circ$.

Пусть O — точка пересечения высот $BH_B$ и $CH_C$. Углы, образованные при пересечении высот, это пара вертикальных углов и смежные с ними углы. Нам необходимо найти величину острого угла из этих пар.

Рассмотрим четырехугольник $AH_BOH_C$. Сумма внутренних углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы этого четырехугольника:

• $\angle H_CAH_B$, который равен $\angle A = 60^\circ$.
• $\angle AH_BO$ (или $\angle AH_BB$), который равен $90^\circ$, так как $BH_B$ — высота.
• $\angle AH_CO$ (или $\angle AH_CC$), который равен $90^\circ$, так как $CH_C$ — высота.
• $\angle H_BOH_C$ — это один из углов между высотами.

Теперь мы можем вычислить угол $\angle H_BOH_C$, зная остальные три угла четырехугольника:

$ \angle A + \angle AH_BO + \angle AH_CO + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ 240^\circ + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ \angle H_BOH_C = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $

Угол $\angle BOC$ является вертикальным к углу $\angle H_BOH_C$, следовательно, $\angle BOC = 120^\circ$. Это один из углов, образованных пересечением высот. Так как этот угол тупой ($120^\circ > 90^\circ$), искомый острый угол является смежным с ним. Величина острого угла равна:

$ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$.

18. Можно ли построить треугольник со сторонами:

а) 13 см, 2 см, 8 см;

б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м?

Для того чтобы определить, можно ли построить треугольник с заданными сторонами, нужно воспользоваться правилом, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть строго больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно сложить длины двух меньших сторон и сравнить их сумму с длиной наибольшей стороны. Если сумма двух меньших сторон больше самой большой стороны, то такой треугольник существует.

а) Даны стороны: 13 см, 2 см, 8 см.
Самая длинная сторона – 13 см. Две другие стороны – 2 см и 8 см.
Проверим, выполняется ли неравенство треугольника. Сравним сумму длин двух меньших сторон с длиной большей стороны:
$2 + 8 > 13$
$10 > 13$
Данное неравенство является ложным, так как 10 меньше 13. Следовательно, треугольник с такими сторонами построить невозможно.
Ответ: нет.

б) Даны стороны: 1 м, 0,5 м, 0,5 м.
Самая длинная сторона – 1 м. Две другие стороны – 0,5 м и 0,5 м.
Проверим, выполняется ли неравенство треугольника. Сравним сумму длин двух меньших сторон с длиной большей стороны:
$0,5 + 0,5 > 1$
$1 > 1$
Данное неравенство является ложным, так как 1 не больше 1, а равно 1. В этом случае все три вершины треугольника будут лежать на одной прямой, и такой треугольник называется вырожденным. Построить невырожденный треугольник (то есть с ненулевой площадью) с такими сторонами невозможно.
Ответ: нет.

19. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны:

а) 6 см и 3 см;

б) 8 см и 2 см.

Для решения задачи используется свойство равнобедренного треугольника (две стороны равны) и неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны).

а) Даны две стороны: 6 см и 3 см. Третья сторона, в силу того что треугольник равнобедренный, может быть равна либо 6 см, либо 3 см. Рассмотрим оба варианта:
1. Если третья сторона равна 6 см, то стороны треугольника — 6 см, 6 см, 3 см. Проверим выполнение неравенства треугольника. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше большей стороны: $6 + 3 > 6$. Неравенство $9 > 6$ верно, значит, такой треугольник существует.
2. Если третья сторона равна 3 см, то стороны треугольника — 3 см, 3 см, 6 см. Проверим неравенство треугольника: $3 + 3 > 6$. Неравенство $6 > 6$ является ложным (сумма должна быть строго больше). Следовательно, такой треугольник не может существовать.
Таким образом, третья сторона треугольника может быть равна только 6 см.
Ответ: 6 см.

б) Даны две стороны: 8 см и 2 см. Третья сторона может быть равна либо 8 см, либо 2 см. Рассмотрим оба варианта:
1. Если третья сторона равна 8 см, то стороны треугольника — 8 см, 8 см, 2 см. Проверим выполнение неравенства треугольника: $8 + 2 > 8$. Неравенство $10 > 8$ верно, значит, такой треугольник существует.
2. Если третья сторона равна 2 см, то стороны треугольника — 2 см, 2 см, 8 см. Проверим неравенство треугольника: $2 + 2 > 8$. Неравенство $4 > 8$ является ложным. Следовательно, такой треугольник не может существовать.
Таким образом, третья сторона треугольника может быть равна только 8 см.
Ответ: 8 см.

20. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Проведём медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим её длину как $m_a$. Полупериметр треугольника $p$ равен $p = \frac{a + b + c}{2}$. Нам необходимо доказать, что $m_a < p$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на её собственную длину до точки $D$, так что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$. Так как $AM$ является медианой, точка $M$ — середина стороны $BC$, то есть $BM = MC$. Поскольку диагонали четырёхугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырёхугольник является параллелограммом.

Одно из свойств параллелограмма гласит, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $CD = AB = c$. Также отметим, что длина отрезка $AD$ равна удвоенной длине медианы: $AD = AM + MD = m_a + m_a = 2m_a$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По неравенству треугольника, сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны. Запишем это неравенство для сторон $AC$, $CD$ и $AD$:
$AC + CD > AD$

Подставим в это неравенство длины сторон, выраженные через стороны исходного треугольника и его медиану:
$b + c > 2m_a$

Разделим обе части неравенства на 2:
$\frac{b+c}{2} > m_a$

Мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, исходящих из той же вершины. Теперь сравним эту величину с полупериметром. Так как длина стороны $a$ всегда положительна ($a > 0$), очевидно, что:
$\frac{b+c}{2} < \frac{b+c+a}{2}$

Таким образом, мы имеем цепочку неравенств:
$m_a < \frac{b+c}{2}$ и $\frac{b+c}{2} < \frac{a+b+c}{2}$
Отсюда следует, что:
$m_a < \frac{a+b+c}{2}$

Это доказывает, что медиана треугольника меньше его полупериметра. Рассуждение справедливо для любой медианы треугольника.

Ответ: Доказано, что любая медиана треугольника меньше его полупериметра.

1. Какому неравенству удовлетворяют точки $A$, лежащие:

а) в круге с центром в точке $O$ и радиусом $R$;

б) вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$?

а)

Круг с центром в точке O и радиусом R — это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра O не превышает радиуса R. Пусть A — произвольная точка, лежащая в этом круге, а OA — расстояние между точками O и A. По определению, для того чтобы точка A находилась в круге, расстояние от нее до центра O должно быть меньше или равно радиусу R. Это условие записывается в виде неравенства.

Ответ: $OA \le R$.

б)

Если точка A лежит вне круга с центром в точке O и радиусом R, это означает, что расстояние от точки A до центра O превышает радиус R. То есть, точка A находится дальше от центра, чем любая точка, лежащая на окружности, которая ограничивает данный круг. Это условие можно выразить следующим неравенством.

Ответ: $OA > R$.

2. Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 55 мм больше радиуса этой окружности.

Обозначим диаметр окружности как $d$, а её радиус как $r$.

По определению, диаметр окружности всегда в два раза больше её радиуса. Это соотношение выражается формулой:

$d = 2r$

Из условия задачи нам известно, что диаметр на 55 мм больше радиуса. Запишем это в виде уравнения:

$d = r + 55$

Теперь у нас есть два выражения для диаметра $d$. Мы можем приравнять их правые части, чтобы составить уравнение для нахождения радиуса $r$:

$2r = r + 55$

Для решения этого уравнения вычтем $r$ из обеих частей:

$2r - r = 55$

$r = 55$ мм.

Таким образом, радиус окружности равен 55 мм. Теперь найдем диаметр, используя формулу $d = 2r$:

$d = 2 \times 55$

$d = 110$ мм.

Ответ: 110 мм.

3. Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?

3. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим геометрические свойства окружности. Пусть нам даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
1. По определению, окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Обозначим центр окружности как $O$, а радиус — как $R$.
2. Если окружность проходит через точки $A$ и $B$, то обе эти точки должны находиться на одинаковом расстоянии от центра $O$. Это расстояние равно радиусу окружности. Таким образом, должно выполняться равенство: $OA = OB = R$.
3. Условие $OA = OB$ означает, что центр окружности $O$ должен быть равноудален от точек $A$ и $B$.
4. Геометрическим местом всех точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), является прямая, которая называется серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярен ему.
5. Любая точка, лежащая на этом серединном перпендикуляре, может быть центром окружности, проходящей через $A$ и $B$. Поскольку прямая состоит из бесконечного множества точек, мы можем выбрать бесконечное множество центров для наших окружностей.
6. Для каждой такой точки-центра $O$ на серединном перпендикуляре мы можем построить уникальную окружность с радиусом $R = OA$, которая будет проходить через обе точки $A$ и $B$.
Следовательно, через две заданные точки можно провести бесконечное множество окружностей, и центры всех этих окружностей будут лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти две точки.

Ответ: Через две заданные точки может проходить бесконечное множество окружностей.

4. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус окружности, проходящей через эти точки.

Пусть даны две точки А и В, расстояние между которыми равно $AB = 2$ см. Окружность, которая проходит через эти две точки, будет иметь отрезок $AB$ в качестве своей хорды.

Известно, что длина любой хорды окружности не превышает длину её диаметра. Наибольшая возможная длина хорды равна диаметру. Обозначим радиус окружности как $R$, а её диаметр как $D$. Тогда $D = 2R$.

Таким образом, для хорды $AB$ должно выполняться неравенство: $AB \le D$.

Подставим известные значения в это неравенство:

$2 \le 2R$

Разделим обе части неравенства на 2:

$1 \le R$

Это означает, что радиус $R$ любой окружности, проходящей через точки А и В, должен быть не меньше 1 см. Наименьшее возможное значение радиуса равно 1 см. Это значение достигается в том случае, когда хорда $AB$ является диаметром окружности. В этом случае центр окружности является серединой отрезка $AB$.

Итак, наименьший возможный радиус окружности равен половине расстояния между точками А и В:

$R_{min} = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

5. Точка $A$ расположена вне окружности радиуса $R$ и удалена от центра $O$ этой окружности на расстояние $d$. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек данной окружности?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ находится вне окружности на расстоянии $d$ от центра $O$. Это означает, что $AO = d$, и так как точка $A$ вне окружности, то $d > R$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее расстояние от точки $A$ до произвольной точки $B$ на окружности.

Рассмотрим прямую, проходящую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая пересекает окружность в двух токах. Обозначим их $B_1$ и $B_2$. Пусть точка $B_1$ лежит между точками $A$ и $O$, а точка $O$ лежит между точками $A$ и $B_2$.

Наименьшее расстояние
Наименьшее расстояние от точки $A$ до окружности будет до точки $B_1$, которая является ближайшей точкой пересечения прямой $AO$ с окружностью. Расстояние $AB_1$ можно найти, вычтя из расстояния $AO$ радиус окружности $OB_1$:
$AB_1 = AO - OB_1 = d - R$.
Чтобы доказать, что это действительно наименьшее расстояние, возьмем любую другую точку $B$ на окружности и рассмотрим треугольник $AOB$. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше или равна длине третьей стороны: $AB + OB \ge AO$.
Так как $OB = R$ (радиус) и $AO = d$, получаем:
$AB + R \ge d$
$AB \ge d - R$
Это означает, что расстояние от точки $A$ до любой точки $B$ на окружности не может быть меньше, чем $d - R$. Равенство достигается только тогда, когда точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой, и точка $B$ находится между $A$ и $O$, что соответствует нашей точке $B_1$.
Ответ: $d - R$.

Наибольшее расстояние
Наибольшее расстояние от точки $A$ до окружности будет до точки $B_2$, которая является наиболее удаленной точкой пересечения прямой $AO$ с окружностью. Расстояние $AB_2$ можно найти, сложив расстояние $AO$ и радиус окружности $OB_2$:
$AB_2 = AO + OB_2 = d + R$.
Чтобы доказать, что это действительно наибольшее расстояние, снова рассмотрим треугольник $AOB$ для любой точки $B$ на окружности. По неравенству треугольника: $AB \le AO + OB$.
Так как $AO = d$ и $OB = R$, получаем:
$AB \le d + R$
Это означает, что расстояние от точки $A$ до любой точки $B$ на окружности не может быть больше, чем $d + R$. Равенство достигается только тогда, когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, и точка $O$ находится между $A$ и $B$, что соответствует нашей точке $B_2$.
Ответ: $d + R$.

6. Наибольшее и наименьшее расстояние от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — ее радиус, а $P$ — данная точка, расположенная вне окружности. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки $P$ до точек окружности находятся на прямой, проходящей через точку $P$ и центр окружности $O$.

Обозначим расстояние от точки $P$ до центра окружности $O$ как $d$.

Наименьшее расстояние от точки $P$ до окружности, $d_{min}$, равно разности расстояния от $P$ до центра $O$ и радиуса $R$. Это расстояние до ближайшей к $P$ точки на окружности, которая лежит на отрезке $PO$.
Математически это можно записать так: $d_{min} = d - R$.

Наибольшее расстояние от точки $P$ до окружности, $d_{max}$, равно сумме расстояния от $P$ до центра $O$ и радиуса $R$. Это расстояние до самой дальней от $P$ точки на окружности, которая также лежит на прямой $PO$.
Математически это можно записать так: $d_{max} = d + R$.

Согласно условию задачи, нам даны значения этих расстояний:
$d_{max} = 50$ см
$d_{min} = 20$ см

Мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($d$ и $R$):
1) $d + R = 50$
2) $d - R = 20$

Для нахождения радиуса $R$ можно вычесть второе уравнение из первого:
$(d + R) - (d - R) = 50 - 20$
$d + R - d + R = 30$
$2R = 30$
$R = \frac{30}{2}$
$R = 15$

Таким образом, радиус данной окружности равен 15 см.
Для полноты решения найдем и расстояние $d$ от точки до центра, сложив два уравнения системы:
$(d + R) + (d - R) = 50 + 20$
$2d = 70$
$d = 35$ см.
Проверка: наибольшее расстояние $35 + 15 = 50$ см, наименьшее расстояние $35 - 15 = 20$ см. Условия задачи выполняются.

Ответ: 15 см.

7. Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную:

a) внутри окружности;

б) вне окружности;

в) на окружности?

а) внутри окружности
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Если точка расположена внутри окружности, то любая прямая, проходящая через эту точку, будет пересекать окружность в двух токах, то есть будет являться секущей.
Докажем это от противного. Пусть точка $P$ находится внутри окружности с центром $O$ и радиусом $R$, то есть расстояние $OP < R$. Предположим, что через точку $P$ можно провести касательную $l$, которая касается окружности в точке $T$. По свойству касательной, радиус $OT$ перпендикулярен касательной $l$. Тогда в треугольнике $OPT$ угол $\angle OTP$ — прямой ($90^\circ$), а сторона $OP$ — гипотенуза. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, следовательно, $OP > OT$. Но $OT = R$, значит $OP > R$. Это противоречит нашему условию, что точка $P$ лежит внутри окружности ($OP < R$). Таким образом, через точку, расположенную внутри окружности, нельзя провести ни одной касательной.
Ответ: 0.

б) вне окружности
Если точка $P$ расположена вне окружности, то расстояние от нее до центра $O$ больше радиуса $R$ ($OP > R$). В этом случае из точки $P$ можно провести ровно две касательные к окружности.
Для их построения соединим точку $P$ с центром окружности $O$. На отрезке $OP$ как на диаметре построим вспомогательную окружность. Эта вспомогательная окружность пересечет исходную в двух точках, назовем их $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ будут касательными к исходной окружности. Это верно, так как углы $\angle OT_1P$ и $\angle OT_2P$ вписаны во вспомогательную окружность и опираются на её диаметр $OP$, а значит, они прямые. Поскольку радиусы $OT_1$ и $OT_2$ перпендикулярны прямым $PT_1$ и $PT_2$ в точках $T_1$ и $T_2$ на окружности, эти прямые являются касательными.
Ответ: 2.

в) на окружности
Если точка $P$ лежит на окружности, то через нее можно провести ровно одну касательную. Эта касательная — прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная радиусу $OP$, проведенному в эту точку. Любая другая прямая, проходящая через точку $P$, войдет внутрь круга и пересечет окружность в еще одной точке, то есть будет являться секущей. Таким образом, существует только одна касательная.
Ответ: 1.

8. Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно:

а) 2 см;

б) 3 см;

в) 4 см?

Для определения взаимного расположения прямой и окружности необходимо сравнить радиус окружности, который обозначим как $r$, и расстояние от центра окружности до прямой, которое обозначим как $d$. По условию задачи, радиус окружности $r = 3$ см.

Существует три основных варианта взаимного расположения, которые зависят от соотношения между $d$ и $r$:

1. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такая прямая называется секущей.

2. Если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Такая прямая называется касательной.

3. Если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев:

а) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 2$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 2$ см, а $r = 3$ см. Поскольку $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$, выполняется неравенство $d < r$. Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках.

б) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 3$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 3$ см, и $r = 3$ см. В этом случае $d = r$. Это означает, что прямая касается окружности в одной точке.
Ответ: прямая и окружность касаются (имеют одну общую точку).

в) Дано расстояние от центра окружности до прямой $d = 4$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = 4$ см, а $r = 3$ см. Поскольку $4 \text{ см} > 3 \text{ см}$, выполняется неравенство $d > r$. Это означает, что прямая и окружность не имеют общих точек.
Ответ: прямая и окружность не имеют общих точек.

9. Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности с центром в точке А и касающейся данной окружности:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R_1$ — ее радиус. По условию, $R_1 = 3$ см. Пусть искомая окружность имеет центр в точке $A$ и радиус $R_2$. Расстояние между центрами окружностей $O$ и $A$ равно $d = 5$ см. Точка касания двух окружностей всегда лежит на линии, соединяющей их центры.

а) внешним образом
При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Математически это выражается формулой: $d = R_1 + R_2$. Подставим известные значения в формулу: $5 = 3 + R_2$ Отсюда находим радиус искомой окружности: $R_2 = 5 - 3 = 2$ см.
Ответ: 2 см.

б) внутренним образом
При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Математически это выражается формулой: $d = |R_1 - R_2|$. Подставим известные значения: $5 = |3 - R_2|$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $3 - R_2 = 5$, откуда $R_2 = 3 - 5 = -2$. Этот случай невозможен, так как радиус не может быть отрицательным. 2) $3 - R_2 = -5$, откуда $R_2 = 3 + 5 = 8$. Этот случай возможен. Поскольку расстояние от центра $O$ до центра $A$ ($d=5$ см) больше радиуса первой окружности ($R_1=3$ см), точка $A$ находится вне данной окружности. Следовательно, для внутреннего касания искомая окружность должна быть больше и содержать в себе данную окружность. Радиус $R_2=8$ см удовлетворяет этому условию.
Ответ: 8 см.

10. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5 см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны:

а) 2 см и 3 см;

б) 2 см и 2 см?

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой ($R_1 + R_2$) и разностью ($|R_1 - R_2|$) их радиусов. По условию, расстояние между центрами $d = 5$ см.

а) Даны радиусы $R_1 = 2$ см и $R_2 = 3$ см.
1. Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 2 + 3 = 5$ см.
2. Сравним расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = 5$ см и $R_1 + R_2 = 5$ см.
Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются внешним образом в одной точке.
Ответ: окружности касаются внешним образом.

б) Даны радиусы $R_1 = 2$ см и $R_2 = 2$ см.
1. Найдем сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 2 + 2 = 4$ см.
2. Сравним расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = 5$ см и $R_1 + R_2 = 4$ см.
Поскольку расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R_1 + R_2$), окружности не пересекаются и не касаются. Они расположены одна вне другой.
Ответ: окружности не пересекаются и находятся одна вне другой.