Номер 16, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AD$ и $BE$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$. Найдите угол $AOB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Из условия задачи мы знаем, что $\angle C = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу суммы углов: $\angle A + \angle B + 60^\circ = 180^\circ$.

Выразим сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

По условию, $AD$ и $BE$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно. Биссектриса делит угол пополам. Точка $O$ является точкой пересечения этих биссектрис. Следовательно, в треугольнике $AOB$ углы при вершинах $A$ и $B$ будут равны: $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его углов также равна $180^\circ$: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$: $\angle AOB + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 180^\circ$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\angle AOB + \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 180^\circ$.

Ранее мы нашли, что $\angle A + \angle B = 120^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $\angle AOB + \frac{1}{2}(120^\circ) = 180^\circ$. $\angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.