Номер 11, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В равнобедренном треугольнике один угол на $90^\circ$ меньше другого угла. Найдите больший угол.

В равнобедренном треугольнике как минимум два угла равны. Эти углы называются углами при основании. Пусть их величина равна $x$. Третий угол, противолежащий основанию, называется углом при вершине, и пусть его величина равна $y$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для нашего равнобедренного треугольника справедливо следующее уравнение:

$2x + y = 180^\circ$

Согласно условию, один угол на $90^\circ$ меньше другого. Так как в равнобедренном треугольнике могут быть только две различные величины углов ($x$ и $y$), мы должны рассмотреть два возможных варианта их соотношения.

Случай 1: Угол при основании ($x$) на 90° меньше угла при вершине ($y$).

В этом случае мы можем записать равенство: $x = y - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов треугольника:

$2(y - 90^\circ) + y = 180^\circ$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$2y - 180^\circ + y = 180^\circ$

$3y = 180^\circ + 180^\circ$

$3y = 360^\circ$

$y = 120^\circ$

Теперь найдем величину угла при основании $x$:

$x = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$

Получаем углы треугольника: $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$. Проверим сумму: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Все углы имеют положительную величину. Следовательно, такой треугольник существует.

Случай 2: Угол при вершине ($y$) на 90° меньше угла при основании ($x$).

В этом случае равенство будет таким: $y = x - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:

$2x + (x - 90^\circ) = 180^\circ$

Решим уравнение относительно $x$:

$3x - 90^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ + 90^\circ$

$3x = 270^\circ$

$x = 90^\circ$

Теперь найдем величину угла при вершине $y$:

$y = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$

Угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поэтому данный случай невозможен.

Таким образом, единственным решением является первый случай, где углы треугольника равны $30^\circ, 30^\circ$ и $120^\circ$. Больший из этих углов — $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$