Номер 5, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

а) один из углов равен 150°;

б) один из углов на 70° больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Среди этих углов есть только два различных по величине значения, так как все острые углы равны между собой, и все тупые углы также равны между собой. Любой острый угол и любой тупой угол являются смежными или односторонними, поэтому их сумма всегда равна $180^\circ$.

а) один из углов равен 150°
Пусть один из образовавшихся углов равен $150^\circ$. Этот угол является тупым. Обозначим его как $\beta$. Все тупые углы, образованные при пересечении, будут равны $150^\circ$. Таких углов всего четыре.
Острые углы, обозначим их как $\alpha$, являются смежными к тупым углам, поэтому их сумма с тупым углом равна $180^\circ$.
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
$ \alpha + 150^\circ = 180^\circ $
$ \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $
Все острые углы равны $30^\circ$. Таких углов также четыре.
Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $150^\circ$ и четыре угла по $30^\circ$.
Ответ: четыре угла равны $150^\circ$ и четыре угла равны $30^\circ$.

б) один из углов на 70° больше другого
Пусть один угол равен $x$, тогда другой, согласно условию, равен $x + 70^\circ$.
Эти два угла не могут быть равными (например, вертикальными или накрест лежащими), так как в этом случае мы получили бы уравнение $x = x + 70^\circ$, что не имеет решений.
Следовательно, эти углы должны быть смежными или односторонними, и их сумма равна $180^\circ$.
Составим уравнение:
$ x + (x + 70^\circ) = 180^\circ $
$ 2x + 70^\circ = 180^\circ $
$ 2x = 180^\circ - 70^\circ $
$ 2x = 110^\circ $
$ x = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ $
Итак, один из углов равен $55^\circ$.
Второй угол равен $x + 70^\circ = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.
Таким образом, все острые углы равны $55^\circ$ (их четыре), а все тупые углы равны $125^\circ$ (их тоже четыре).
Ответ: четыре угла равны $55^\circ$ и четыре угла равны $125^\circ$.