Номер 18, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода.

Способ 1: На основе теоремы Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где длины катетов равны a и b, а длина гипотенузы равна c.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $c^2 = a^2 + b^2$

Поскольку длины сторон треугольника являются положительными величинами, то $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Давайте сравним квадрат гипотенузы $c^2$ с квадратом катета $a^2$. Из формулы $c^2 = a^2 + b^2$ и условия $b^2 > 0$ следует, что $c^2 > a^2$.

Так как длины a и c положительны, из неравенства $c^2 > a^2$ мы можем заключить, что $c > a$.

Аналогично, сравнивая $c^2$ с $b^2$, из $c^2 = a^2 + b^2$ и $a^2 > 0$ следует, что $c^2 > b^2$.

Поскольку b и c — положительные величины, из $c^2 > b^2$ следует, что $c > b$.

Таким образом, мы доказали, что гипотенуза c длиннее каждого из катетов, a и b.

Способ 2: На основе соотношений между сторонами и углами треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Обозначим углы нашего треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, где $\gamma = 90^\circ$ — прямой угол.

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, имеем: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставив значение прямого угла, получаем: $\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$, откуда следует, что $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Так как в любом невырожденном треугольнике углы положительны, то $\alpha > 0^\circ$ и $\beta > 0^\circ$. Это означает, что каждый из этих углов строго меньше $90^\circ$: $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$.

Таким образом, прямой угол $\gamma = 90^\circ$ является наибольшим углом в прямоугольном треугольнике.

В геометрии существует теорема, которая гласит: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

В нашем случае гипотенуза является стороной, лежащей напротив прямого (наибольшего) угла $\gamma$. Катеты, в свою очередь, лежат напротив острых (меньших) углов $\alpha$ и $\beta$.

Следовательно, длина гипотенузы больше длины каждого из катетов.

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше каждого из его катетов.