Номер 14, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если у них равны стороны $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$, медианы $CM$ и $C_1M_1$.

Дано:
Даны два треугольника $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.
По условию, у них равны стороны $ AB = A_1B_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.
$ CM $ и $ C_1M_1 $ – медианы этих треугольников, проведенные к сторонам $ AB $ и $ A_1B_1 $ соответственно.
Также по условию, медианы равны: $ CM = C_1M_1 $.

Доказать:
$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Первым шагом рассмотрим треугольники, образованные медианами: $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $.
По определению медианы, точка $ M $ является серединой стороны $ AB $, поэтому $ AM = \frac{1}{2}AB $. Аналогично, точка $ M_1 $ является серединой стороны $ A_1B_1 $, поэтому $ A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1B_1 $.
Поскольку по условию задачи $ AB = A_1B_1 $, то их половины также равны: $ AM = A_1M_1 $.

2. Теперь сравним треугольники $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $ по трем сторонам:
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ CM = C_1M_1 $ (по условию).
- $ AM = A_1M_1 $ (как было показано выше).
Следовательно, $ \triangle AMC \cong \triangle A_1M_1C_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

3. Из равенства треугольников $ \triangle AMC $ и $ \triangle A_1M_1C_1 $ следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $ A $ треугольника $ ABC $ равен углу $ A_1 $ треугольника $ A_1B_1C_1 $ ($ \angle A = \angle A_1 $).

4. Наконец, рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Для них мы имеем:
- $ AB = A_1B_1 $ (по условию).
- $ AC = A_1C_1 $ (по условию).
- $ \angle A = \angle A_1 $ (как было доказано выше).
Таким образом, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано на основании равенства двух сторон и медианы, проведенной к одной из этих сторон.