Номер 7, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие медианы.

Дано:
Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Из условия равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$) следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны соответствующие стороны и углы:
$AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, и $\angle A = \angle A_1$.
Проведем в этих треугольниках соответствующие медианы $BM$ и $B_1M_1$ из вершин $B$ и $B_1$ к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно.

Доказать:
Необходимо доказать, что соответствующие медианы равны, то есть $BM = B_1M_1$.

Доказательство:
Для доказательства равенства отрезков $BM$ и $B_1M_1$ рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$, образованные сторонами исходных треугольников и их медианами.
Сравним эти треугольники:
1. Сторона $AB$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответствующие стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
2. Угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABM$ равен углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответствующие углы в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
3. Сторона $AM$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $A_1M_1$ треугольника $\triangle A_1B_1M_1$. Это следует из того, что $BM$ и $B_1M_1$ – медианы. По определению медианы, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. Так как по условию $AC = A_1C_1$, то и их половины равны: $AM = A_1M_1$.

Таким образом, мы установили, что две стороны и угол между ними в треугольнике $\triangle ABM$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $\triangle A_1B_1M_1$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$.
Из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$ следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны стороны, лежащие против равных углов. Сторона $BM$ лежит против угла $\angle A$, а сторона $B_1M_1$ — против угла $\angle A_1$. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, стороны $BM$ и $B_1M_1$ являются соответствующими.
Значит, $BM = B_1M_1$.
Аналогичное доказательство можно провести для двух других пар соответствующих медиан.
Ответ: Что и требовалось доказать.