Номер 13, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Дано:
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$.
Боковые стороны равны: $AB = BC$.
$AD$ — биссектриса угла $\angle A$, проведенная к стороне $BC$.
$CE$ — биссектриса угла $\angle C$, проведенная к стороне $AB$.

Доказать:
$AD = CE$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$. По определению биссектрисы, $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам, а $CE$ делит угол $\angle BCA$ пополам. Отсюда получаем: $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC$ и $\angle ECA = \frac{1}{2}\angle BCA$. Так как $\angle BAC = \angle BCA$, то и их половины равны, то есть $\angle DAC = \angle ECA$. Теперь сравним треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. У них: 1. Сторона $AC$ — общая. 2. Угол $\angle DCA$ (он же $\angle BCA$) равен углу $\angle EAC$ (он же $\angle BAC$) как углы при основании равнобедренного треугольника. 3. Угол $\angle DAC$ равен углу $\angle ECA$, что было доказано выше. Следовательно, треугольник $\triangle ADC$ равен треугольнику $\triangle CEA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AD$ в $\triangle ADC$ лежит напротив угла $\angle DCA$, а сторона $CE$ в $\triangle CEA$ лежит напротив угла $\angle EAC$. Поскольку $\angle DCA = \angle EAC$, то соответствующие стороны $AD$ и $CE$ равны. Таким образом, $AD = CE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство биссектрис, проведенных к боковым сторонам равнобедренного треугольника, доказано через равенство треугольников $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$ по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам).