Номер 11, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Докажите, что если биссектриса треугольника является высотой, то треугольник равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором отрезок $BD$, проведенный из вершины $B$ к стороне $AC$, является одновременно и биссектрисой, и высотой.

Поскольку $BD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle B$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Поскольку $BD$ является высотой, она перпендикулярна стороне $AC$ ($BD \perp AC$). Это означает, что углы при основании высоты являются прямыми: $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два треугольника, на которые отрезок $BD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Сравним эти два треугольника:

1. Сторона $BD$ у них общая.

2. Угол $\angle ABD$ равен углу $\angle CBD$ (так как $BD$ — биссектриса).

3. Угол $\angle BDA$ равен углу $\angle BDC$ (так как $BD$ — высота и оба угла прямые).

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle CBD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle BDA$, а сторона $BC$ в $\triangle CBD$ лежит напротив равного ему угла $\angle BDC$. Следовательно, $AB = BC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Так как мы доказали, что $AB = BC$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если биссектриса треугольника является его высотой, то такой треугольник является равнобедренным.