Номер 12, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), а $AC$ — основание. Проведем медианы $AM$ к боковой стороне $BC$ и $CN$ к боковой стороне $AB$. Требуется доказать, что медианы $AM$ и $CN$ равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$.

1. Стороны $AB$ и $CB$ равны по определению равнобедренного треугольника ($AB = CB$).

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. Поскольку $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BM = \frac{1}{2}BC$.

4. Аналогично, поскольку $CN$ является медианой, проведенной к стороне $AB$, она делит эту сторону пополам. Следовательно, $BN = \frac{1}{2}AB$.

5. Так как боковые стороны $AB$ и $BC$ равны, то равны и их половины: $BN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ мы имеем:

- сторона $AB$ равна стороне $CB$;

- сторона $BM$ равна стороне $BN$;

- угол $\angle B$ между этими сторонами — общий.

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AM$ в треугольнике $\triangle ABM$ лежит напротив угла $\angle ABN$, а сторона $CN$ в треугольнике $\triangle CBN$ лежит напротив угла $\angle CBM$. Так как это один и тот же угол ($\angle B$), то стороны $AM$ и $CN$ являются соответствующими и, следовательно, равны: $AM = CN$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к его боковым сторонам, равны. Это следует из равенства треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$, которое доказывается по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).