Номер 8, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие биссектрисы.

Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По определению равных треугольников, их соответствующие стороны и углы равны:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Проведём в этих треугольниках соответствующие биссектрисы, например, $BD$ из вершины $B$ в $\triangle ABC$ и $B_1D_1$ из вершины $B_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, а точка $D_1$ — на стороне $A_1C_1$. Требуется доказать, что биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ равны.

Для доказательства этого рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Сравним эти два треугольника.

Во-первых, сторона $AB$ треугольника $\triangle ABD$ равна стороне $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$, так как это соответствующие стороны в равных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Во-вторых, угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABD$ равен углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1D_1$ по той же причине.

В-третьих, рассмотрим углы $\angle ABD$ и $\angle A_1B_1D_1$. Так как $BD$ — это биссектриса угла $\angle B$, то $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$. Аналогично, $B_1D_1$ — это биссектриса угла $\angle B_1$, поэтому $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то равны и их половины: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($AB$, $\angle A$ и $\angle ABD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($A_1B_1$, $\angle A_1$ и $\angle A_1B_1D_1$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BD$ в $\triangle ABD$ является соответственной для стороны $B_1D_1$ в $\triangle A_1B_1D_1$. Значит, $BD = B_1D_1$.

Аналогичное доказательство можно провести для биссектрис, проведённых из двух других пар соответствующих вершин. Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: В равных треугольниках соответствующие биссектрисы равны.