Номер 6, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Докажите, что если прямая пересекает одну сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Это утверждение известно в геометрии как аксиома Паша. Докажем его, используя свойство прямой разделять плоскость на две полуплоскости.

Дано:
- Треугольник $ABC$.
- Прямая $a$, которая не проходит через вершины $A$, $B$, $C$.
- Прямая $a$ пересекает сторону $BC$ в некоторой точке $M$.

Доказать:
Прямая $a$ пересекает ровно одну из двух других сторон: либо $AB$, либо $AC$.

Доказательство:

1. Разделение плоскости. Согласно аксиоме о расположении точек на прямой и плоскости, любая прямая (в нашем случае прямая $a$) делит плоскость на две открытые полуплоскости. Назовем их $P_1$ и $P_2$.

2. Расположение вершин $B$ и $C$. По условию, прямая $a$ пересекает отрезок $BC$ в точке $M$, лежащей между $B$ и $C$. Это означает, что концы отрезка, то есть вершины $B$ и $C$, лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Без ограничения общности, предположим, что вершина $B$ лежит в полуплоскости $P_1$, а вершина $C$ — в полуплоскости $P_2$.

3. Расположение вершины $A$. По условию, прямая $a$ не проходит через вершину $A$. Следовательно, точка $A$ должна принадлежать одной из двух полуплоскостей: либо $P_1$, либо $P_2$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Вершина $A$ лежит в полуплоскости $P_1$.
В этом случае вершины $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости ($P_1$), а вершины $A$ и $C$ — в разных ($A$ находится в $P_1$, а $C$ — в $P_2$).

• По свойству полуплоскостей, отрезок $AB$, концы которого ($A$ и $B$) лежат в одной полуплоскости, не пересекает прямую $a$.
• Отрезок $AC$, концы которого ($A$ и $C$) лежат в разных полуплоскостях, обязательно пересекает прямую $a$.

Случай 2: Вершина $A$ лежит в полуплоскости $P_2$.
В этом случае вершины $A$ и $C$ лежат в одной полуплоскости ($P_2$), а вершины $A$ и $B$ — в разных ($A$ находится в $P_2$, а $B$ — в $P_1$).

• Отрезок $AC$, концы которого ($A$ и $C$) лежат в одной полуплоскости, не пересекает прямую $a$.
• Отрезок $AB$, концы которого ($A$ и $B$) лежат в разных полуплоскостях, обязательно пересекает прямую $a$.

В обоих возможных случаях прямая $a$ пересекает ровно одну из двух других сторон треугольника (либо $AB$, либо $AC$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну сторону треугольника (не в вершине), она разделяет вершины этой стороны по разным полуплоскостям. Третья вершина оказывается в одной из этих двух полуплоскостей. Следовательно, одна из двух оставшихся сторон будет соединять вершины в разных полуплоскостях (и будет пересечена прямой), а другая — в одной (и не будет пересечена).