Номер 24, страница 6 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Дано:

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Их общая вершина — точка $O$, общая сторона — луч $OC$, а стороны $OA$ и $OB$ являются дополнительными лучами, то есть лежат на одной прямой $AB$.
Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно: $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.
Пусть луч $OM$ — биссектриса угла $\angle AOC$.
Пусть луч $ON$ — биссектриса угла $\angle BOC$.

Доказать:

Биссектрисы $OM$ и $ON$ перпендикулярны, то есть угол между ними $\angle MON$ равен $90^\circ$.

Доказательство:

1. По определению биссектрисы угла, луч $OM$ делит угол $\angle AOC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle MOC$ равна половине величины угла $\angle AOC$:
$\angle MOC = \frac{1}{2}\angle AOC$.

2. Аналогично, по определению биссектрисы, луч $ON$ делит угол $\angle BOC$ на два равных угла. Следовательно, величина угла $\angle CON$ равна половине величины угла $\angle BOC$:
$\angle CON = \frac{1}{2}\angle BOC$.

3. Угол $\angle MON$, образованный биссектрисами $OM$ и $ON$, складывается из углов $\angle MOC$ и $\angle CON$, так как луч $OC$ проходит между лучами $OM$ и $ON$. Таким образом, величина угла $\angle MON$ равна сумме величин этих углов:
$\angle MON = \angle MOC + \angle CON$.

4. Подставим в это равенство выражения для $\angle MOC$ и $\angle CON$ из пунктов 1 и 2:
$\angle MON = \frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle BOC$.

5. Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle MON = \frac{1}{2}(\angle AOC + \angle BOC)$.

6. Как было указано в условии, сумма смежных углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в полученное выражение:
$\angle MON = \frac{1}{2}(180^\circ)$.

7. Выполним вычисление:
$\angle MON = 90^\circ$.

Так как угол между биссектрисами $OM$ и $ON$ равен $90^\circ$, эти биссектрисы перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол между биссектрисами смежных углов равен половине суммы этих углов. Поскольку сумма смежных углов всегда составляет $180^\circ$, угол между их биссектрисами равен $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Следовательно, биссектрисы смежных углов всегда перпендикулярны.