Номер 17, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Докажите, что в прямоугольном треугольнике имеется два острых угла.

Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть равен $90^\circ$. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, и пусть $\gamma = 90^\circ$.

Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Запишем это для нашего треугольника:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Теперь подставим в это равенство известное значение прямого угла $\gamma$:
$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$

Из этого уравнения найдем сумму двух оставшихся углов, $\alpha$ и $\beta$:
$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ$
$\alpha + \beta = 90^\circ$

Так как любой угол в треугольнике должен быть больше $0^\circ$, то мы имеем условия $\alpha > 0^\circ$ и $\beta > 0^\circ$. Если сумма двух положительных углов равна $90^\circ$, то каждый из этих углов обязательно должен быть меньше $90^\circ$. Если предположить обратное, например, что $\alpha \ge 90^\circ$, то поскольку $\beta > 0^\circ$, их сумма $\alpha + \beta$ будет строго больше $90^\circ$, что противоречит полученному равенству $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Следовательно, оба угла, $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяют неравенствам $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ и $0^\circ < \beta < 90^\circ$.

Углы, которые больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, по определению называются острыми. Таким образом, мы доказали, что в любом прямоугольном треугольнике два угла являются острыми.

Ответ: Что и требовалось доказать.