Номер 3, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Из точки $A$ к прямой $b$ проведены перпендикуляр $AB$ и наклонные $AB_1, AB_2$. Какая из двух наклонных меньше, если:

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$;

б) $B$ лежит между $B_1, B_2$ и $BB_1 < BB_2$?

В данной задаче мы используем свойство наклонных, проведенных из одной точки к прямой: из двух наклонных больше та, у которой проекция больше, и наоборот, меньше та, у которой проекция меньше. Это свойство является прямым следствием теоремы Пифагора.
Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные перпендикуляром $AB$, наклонными ($AB_1$ и $AB_2$) и их проекциями на прямую $b$ ($BB_1$ и $BB_2$). Для любой наклонной $AX$ с проекцией $BX$ на прямую $b$ по теореме Пифагора выполняется равенство: $AX^2 = AB^2 + BX^2$. Отсюда видно, что длина наклонной $AX$ зависит от длины её проекции $BX$.

а) $B_1$ лежит между $B$ и $B_2$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\Delta ABB_1$ и $\Delta ABB_2$.
По теореме Пифагора для них справедливы равенства:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$
По условию, точка $B_1$ лежит на прямой $b$ между основанием перпендикуляра $B$ и точкой $B_2$. Это означает, что расстояние от $B$ до $B_1$ меньше расстояния от $B$ до $B_2$. Таким образом, длина проекции $BB_1$ меньше длины проекции $BB_2$:
$BB_1 < BB_2$
Возведем обе части неравенства в квадрат (так как длины положительны, знак неравенства сохранится):
$BB_1^2 < BB_2^2$
Прибавим к обеим частям одинаковую величину $AB^2$:
$AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2$
Заменяя левую и правую части согласно равенствам из теоремы Пифагора, получаем:
$AB_1^2 < AB_2^2$
Так как длины наклонных – положительные числа, из этого следует, что $AB_1 < AB_2$.
Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.

б) $B$ лежит между $B_1$ и $B_2$, и $BB_1 < BB_2$
В этом случае точки $B_1$ и $B_2$ лежат по разные стороны от основания перпендикуляра $B$. Мы снова рассматриваем прямоугольные треугольники $\Delta ABB_1$ и $\Delta ABB_2$.
Длины наклонных по-прежнему определяются теоремой Пифагора:
$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2$
$AB_2^2 = AB^2 + BB_2^2$
В условии задачи нам напрямую дано сравнение длин проекций: $BB_1 < BB_2$.
Используя ту же логику, что и в пункте а), из неравенства $BB_1 < BB_2$ следует:
$BB_1^2 < BB_2^2$
$AB^2 + BB_1^2 < AB^2 + BB_2^2$
$AB_1^2 < AB_2^2$
$AB_1 < AB_2$
Таким образом, и в этом случае наклонная $AB_1$ меньше, так как её проекция $BB_1$ меньше проекции $BB_2$.
Ответ: наклонная $AB_1$ меньше.