Номер 7, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (записывается как $a \parallel b$) и третья прямая $c$, которая пересекает прямую $a$ в некоторой точке $M$. Нам требуется доказать, что прямая $c$ пересекает и прямую $b$.

Сделаем предположение, которое противоречит доказываемому утверждению: пусть прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Следовательно, из нашего предположения следует, что прямая $c$ параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Таким образом, мы получили следующую ситуацию:
1. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$) — по исходному условию.
2. Прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$) — по нашему предположению.

Из аксиомы параллельных прямых (пятого постулата Евклида) следует, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. В нашем случае точка $M$ принадлежит прямой $a$ и прямой $c$. Так как прямая $a$ параллельна прямой $b$, точка $M$ не может лежать на прямой $b$. Получается, что через точку $M$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), которые обе параллельны прямой $b$.

Это является прямым противоречием аксиоме о параллельных прямых.

Поскольку наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, верным является исходное утверждение: прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что прямая не пересекает вторую из параллельных прямых, то она должна быть ей параллельна. Это приводит к ситуации, когда через одну точку проходят две разные прямые, параллельные третьей, что противоречит аксиоме параллельности.