Номер 6, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$. Обозначим точки пересечения как $A$ (на прямой $a$) и $B$ (на прямой $b$).

При пересечении образуются две пары внутренних накрест лежащих углов. Рассмотрим одну из них, обозначим эти углы как $\angle 1$ и $\angle 2$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то по свойству параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы равны:

$\angle 1 = \angle 2$

Проведем биссектрисы $m$ и $n$ для углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Пусть биссектриса $m$ образует с секущей $c$ угол $\angle 3$, а биссектриса $n$ образует с секущей $c$ угол $\angle 4$. Тогда:

$\angle 3 = \frac{1}{2} \angle 1$

$\angle 4 = \frac{1}{2} \angle 2$

Так как исходные углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, то и их половины равны между собой:

$\angle 3 = \angle 4$

Теперь рассмотрим прямые $m$ и $n$ и их секущую $c$. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются внутренними накрест лежащими для этих прямых. Согласно признаку параллельности прямых, если внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны, то эти прямые параллельны.

Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем сделать вывод, что прямые $m$ и $n$ параллельны:

$m \parallel n$

Таким образом, биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, лежат на параллельных прямых.