Номер 2, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Может ли биссектриса треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Да, биссектриса треугольника, проведенная из некоторой вершины, может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Более того, биссектриса почти всегда больше высоты, за исключением одного частного случая.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем из вершины $B$ к стороне $AC$ высоту $BH$ и биссектрису $BL$.

По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AC$. Это означает, что угол $\angle BHC$ (или $\angle BHA$, в зависимости от того, где лежит точка $H$) является прямым, то есть $\angle BHC = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный точками $B$, $H$ и $L$ — это треугольник $\triangle BHL$. В этом треугольнике угол при вершине $H$ ($\angle BHL$) является прямым. Следовательно, $\triangle BHL$ — это прямоугольный треугольник.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она длиннее любого из катетов. В нашем прямоугольном треугольнике $\triangle BHL$ гипотенузой является сторона $BL$ (биссектриса), так как она лежит напротив прямого угла. Высота $BH$ является одним из катетов этого треугольника.

Из этого следует, что длина гипотенузы $BL$ всегда не меньше длины катета $BH$. Математически это записывается как $BL \ge BH$.

Равенство $BL = BH$ возможно только в том случае, когда точки $L$ и $H$ совпадают, то есть когда второй катет $HL$ имеет нулевую длину. Это происходит, когда биссектриса и высота, проведенные из вершины $B$, являются одним и тем же отрезком. Такое свойство имеет равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны, прилегающие к вершине $B$, равны ($AB = BC$).

В любом другом случае, когда треугольник не является равнобедренным относительно вершины $B$ ($AB \neq BC$), точки $L$ и $H$ не совпадают. Тогда $HL > 0$, и по теореме Пифагора для $\triangle BHL$ мы имеем $BL^2 = BH^2 + HL^2$. Так как $HL^2 > 0$, то $BL^2 > BH^2$, и, следовательно, $BL > BH$.

Таким образом, биссектриса треугольника всегда больше высоты, проведенной из той же вершины, если только треугольник не является равнобедренным относительно этой вершины, — в этом случае они равны.

Ответ: Да, может.