Номер 4, страница 7 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим геометрическую конструкцию.

Пусть дана прямая a и точка A, не лежащая на этой прямой. Проведем из точки A перпендикуляр AH к прямой a (где H — основание перпендикуляра). Также проведем из точки A две наклонные, AB и AC, где B и C — точки на прямой a. Отрезки HB и HC являются проекциями наклонных AB и AC на прямую a соответственно.

Дано:
A — точка вне прямой a.
AH ⊥ a.
AB, AC — наклонные к прямой a.
HB, HC — проекции наклонных AB и AC.
Предположим, что проекция одной наклонной больше проекции другой: $HC > HB$.

Доказать:
$AC > AB$.

Доказательство:
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ΔAHB$ и $ΔAHC$. Они оба являются прямоугольными, так как AH — перпендикуляр к прямой a, а значит, и к отрезкам HB и HC, лежащим на этой прямой. Следовательно, углы $∠AHB$ и $∠AHC$ равны $90°$.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

1. Для треугольника $ΔAHB$: квадрат гипотенузы AB равен сумме квадратов катетов AH и HB.
$AB^2 = AH^2 + HB^2$

2. Для треугольника $ΔAHC$: квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов катетов AH и HC.
$AC^2 = AH^2 + HC^2$

По условию нам дано, что $HC > HB$. Так как длины отрезков являются положительными величинами, то и квадраты их длин будут находиться в том же соотношении: $HC^2 > HB^2$.

Теперь сравним выражения для $AC^2$ и $AB^2$. Слагаемое $AH^2$ является общим для обоих выражений. Поскольку $HC^2 > HB^2$, то и сумма $AH^2 + HC^2$ будет больше суммы $AH^2 + HB^2$.

$AH^2 + HC^2 > AH^2 + HB^2$

Подставив в это неравенство выражения из теоремы Пифагора, получаем:

$AC^2 > AB^2$

Так как длины наклонных AC и AB являются положительными числами, из неравенства для их квадратов следует такое же неравенство и для самих длин:

$AC > AB$

Таким образом, мы доказали, что из двух наклонных, проведенных из одной точки к прямой, больше та, у которой проекция больше. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников $ΔAHB$ и $ΔAHC$ имеем $AB^2 = AH^2 + HB^2$ и $AC^2 = AH^2 + HC^2$. Из условия, что проекция $HC$ больше проекции $HB$ ($HC > HB$), следует, что $HC^2 > HB^2$. Тогда $AH^2 + HC^2 > AH^2 + HB^2$, что означает $AC^2 > AB^2$. Поскольку длины наклонных — положительные числа, из этого следует, что $AC > AB$.