Номер 17, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, два его угла равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Пусть $\angle B = 54^\circ$ и $\angle C = 66^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle A$:

$ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Проведем высоты из вершин B и C. Пусть $BH_B$ — высота, опущенная из вершины B на сторону AC, и $CH_C$ — высота, опущенная из вершины C на сторону AB. По определению высоты, $BH_B$ перпендикулярна AC, а $CH_C$ перпендикулярна AB. Это означает, что $\angle BH_BC = 90^\circ$ и $\angle CH_CA = 90^\circ$.

Пусть O — точка пересечения высот $BH_B$ и $CH_C$. Углы, образованные при пересечении высот, это пара вертикальных углов и смежные с ними углы. Нам необходимо найти величину острого угла из этих пар.

Рассмотрим четырехугольник $AH_BOH_C$. Сумма внутренних углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Углы этого четырехугольника:

• $\angle H_CAH_B$, который равен $\angle A = 60^\circ$.
• $\angle AH_BO$ (или $\angle AH_BB$), который равен $90^\circ$, так как $BH_B$ — высота.
• $\angle AH_CO$ (или $\angle AH_CC$), который равен $90^\circ$, так как $CH_C$ — высота.
• $\angle H_BOH_C$ — это один из углов между высотами.

Теперь мы можем вычислить угол $\angle H_BOH_C$, зная остальные три угла четырехугольника:

$ \angle A + \angle AH_BO + \angle AH_CO + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ 60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ 240^\circ + \angle H_BOH_C = 360^\circ $

$ \angle H_BOH_C = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $

Угол $\angle BOC$ является вертикальным к углу $\angle H_BOH_C$, следовательно, $\angle BOC = 120^\circ$. Это один из углов, образованных пересечением высот. Так как этот угол тупой ($120^\circ > 90^\circ$), искомый острый угол является смежным с ним. Величина острого угла равна:

$ 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$.