Номер 3, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

3. Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?

3. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим геометрические свойства окружности. Пусть нам даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$.
1. По определению, окружность — это геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Обозначим центр окружности как $O$, а радиус — как $R$.
2. Если окружность проходит через точки $A$ и $B$, то обе эти точки должны находиться на одинаковом расстоянии от центра $O$. Это расстояние равно радиусу окружности. Таким образом, должно выполняться равенство: $OA = OB = R$.
3. Условие $OA = OB$ означает, что центр окружности $O$ должен быть равноудален от точек $A$ и $B$.
4. Геометрическим местом всех точек, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), является прямая, которая называется серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки ($AB$). Этот перпендикуляр проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярен ему.
5. Любая точка, лежащая на этом серединном перпендикуляре, может быть центром окружности, проходящей через $A$ и $B$. Поскольку прямая состоит из бесконечного множества точек, мы можем выбрать бесконечное множество центров для наших окружностей.
6. Для каждой такой точки-центра $O$ на серединном перпендикуляре мы можем построить уникальную окружность с радиусом $R = OA$, которая будет проходить через обе точки $A$ и $B$.
Следовательно, через две заданные точки можно провести бесконечное множество окружностей, и центры всех этих окружностей будут лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти две точки.

Ответ: Через две заданные точки может проходить бесконечное множество окружностей.