Номер 7, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную:

a) внутри окружности;

б) вне окружности;

в) на окружности?

а) внутри окружности
Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Если точка расположена внутри окружности, то любая прямая, проходящая через эту точку, будет пересекать окружность в двух токах, то есть будет являться секущей.
Докажем это от противного. Пусть точка $P$ находится внутри окружности с центром $O$ и радиусом $R$, то есть расстояние $OP < R$. Предположим, что через точку $P$ можно провести касательную $l$, которая касается окружности в точке $T$. По свойству касательной, радиус $OT$ перпендикулярен касательной $l$. Тогда в треугольнике $OPT$ угол $\angle OTP$ — прямой ($90^\circ$), а сторона $OP$ — гипотенуза. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, следовательно, $OP > OT$. Но $OT = R$, значит $OP > R$. Это противоречит нашему условию, что точка $P$ лежит внутри окружности ($OP < R$). Таким образом, через точку, расположенную внутри окружности, нельзя провести ни одной касательной.
Ответ: 0.

б) вне окружности
Если точка $P$ расположена вне окружности, то расстояние от нее до центра $O$ больше радиуса $R$ ($OP > R$). В этом случае из точки $P$ можно провести ровно две касательные к окружности.
Для их построения соединим точку $P$ с центром окружности $O$. На отрезке $OP$ как на диаметре построим вспомогательную окружность. Эта вспомогательная окружность пересечет исходную в двух точках, назовем их $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ будут касательными к исходной окружности. Это верно, так как углы $\angle OT_1P$ и $\angle OT_2P$ вписаны во вспомогательную окружность и опираются на её диаметр $OP$, а значит, они прямые. Поскольку радиусы $OT_1$ и $OT_2$ перпендикулярны прямым $PT_1$ и $PT_2$ в точках $T_1$ и $T_2$ на окружности, эти прямые являются касательными.
Ответ: 2.

в) на окружности
Если точка $P$ лежит на окружности, то через нее можно провести ровно одну касательную. Эта касательная — прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная радиусу $OP$, проведенному в эту точку. Любая другая прямая, проходящая через точку $P$, войдет внутрь круга и пересечет окружность в еще одной точке, то есть будет являться секущей. Таким образом, существует только одна касательная.
Ответ: 1.