Номер 14, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Пусть даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Обозначим точку их пересечения как $M$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), которые являются центрами окружностей, касающихся обеих этих прямых.

Пусть точка $O$ — центр некоторой окружности, а $r$ — её радиус. По определению, если окружность касается прямой, то расстояние от её центра до этой прямой равно радиусу.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается прямой $a$, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ должно быть равно радиусу $r$. Обозначим это расстояние как $\rho(O, a)$. Таким образом, $\rho(O, a) = r$.

Аналогично, так как эта же окружность касается прямой $b$, расстояние от точки $O$ до прямой $b$ также должно быть равно радиусу $r$. То есть, $\rho(O, b) = r$.

Из этих двух равенств следует, что любая точка $O$, являющаяся центром искомой окружности, удовлетворяет условию:$\rho(O, a) = \rho(O, b)$.Это означает, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от прямых $a$ и $b$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами углов, образованных при пересечении исходных прямых.

Докажем это. Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла (две пары вертикальных углов). Известно, что ГМТ, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Таким образом, для каждой из четырёх областей (углов), на которые прямые $a$ и $b$ делят плоскость, множество центров искомых окружностей будет лежать на биссектрисе соответствующего угла.

Объединяя биссектрисы всех четырех углов, мы получаем две прямые, проходящие через точку пересечения $M$ прямых $a$ и $b$. Эти две прямые (биссектрисы) взаимно перпендикулярны.

Обратно, любая точка $O$, взятая на одной из этих биссектрис, равноудалена от прямых $a$ и $b$. Если это расстояние равно $r_0$ ($r_0 > 0$), то можно построить окружность с центром в $O$ и радиусом $r_0$, которая будет касаться обеих прямых $a$ и $b$. Если же точка $O$ совпадает с точкой пересечения $M$, то расстояние равно нулю, что соответствует окружности нулевого радиуса (точке), которая также формально касается обеих прямых.

Следовательно, искомое геометрическое место точек представляет собой совокупность всех точек этих двух биссектрис.

Ответ: Геометрическим местом центров окружностей, касающихся двух данных пересекающихся прямых, является пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.