Номер 16, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Постройте биссектрису данного угла.

Для построения биссектрисы данного угла с помощью циркуля и линейки (без делений) выполняется следующая последовательность шагов. Пусть дан угол с вершиной в точке O.

1. Устанавливаем острие циркуля в вершину угла O и проводим дугу окружности произвольного радиуса $R_1$, которая пересекает обе стороны угла. Точки пересечения обозначаем как A и B.

2. Из точек A и B, как из центров, проводим две новые дуги одинакового радиуса $R_2$ внутри угла. Радиус $R_2$ должен быть достаточно большим, чтобы эти дуги пересеклись (например, больше половины расстояния между точками A и B).

3. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как C.

4. С помощью линейки проводим луч, исходящий из вершины O и проходящий через точку C. Луч OC и является искомой биссектрисой.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольники $\triangle OAC$ и $\triangle OBC$, образовавшиеся в результате построения.
- Сторона $OA$ равна стороне $OB$, так как они являются радиусами одной и той же окружности, проведенной из центра O на первом шаге ($OA = OB = R_1$).
- Сторона $AC$ равна стороне $BC$, так как они были построены как дуги с одинаковым радиусом $R_2$ из центров A и B соответственно ($AC = BC = R_2$).
- Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольник $\triangle OAC$ равен треугольнику $\triangle OBC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам). Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны. В частности, $\angle AOC = \angle BOC$.
Следовательно, луч OC делит исходный угол на два равных угла, что по определению означает, что OC является его биссектрисой.

Ответ: Биссектриса строится путем проведения луча из вершины угла через точку пересечения двух вспомогательных дуг, построенных с одинаковым радиусом из точек, равноудаленных от вершины на сторонах угла.