Номер 9, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Дана окружность радиуса 3 см и точка А на расстоянии, равном 5 см от центра окружности. Найдите радиус окружности с центром в точке А и касающейся данной окружности:

а) внешним образом;

б) внутренним образом.

Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R_1$ — ее радиус. По условию, $R_1 = 3$ см. Пусть искомая окружность имеет центр в точке $A$ и радиус $R_2$. Расстояние между центрами окружностей $O$ и $A$ равно $d = 5$ см. Точка касания двух окружностей всегда лежит на линии, соединяющей их центры.

а) внешним образом
При внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Математически это выражается формулой: $d = R_1 + R_2$. Подставим известные значения в формулу: $5 = 3 + R_2$ Отсюда находим радиус искомой окружности: $R_2 = 5 - 3 = 2$ см.
Ответ: 2 см.

б) внутренним образом
При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Математически это выражается формулой: $d = |R_1 - R_2|$. Подставим известные значения: $5 = |3 - R_2|$ Это уравнение распадается на два случая: 1) $3 - R_2 = 5$, откуда $R_2 = 3 - 5 = -2$. Этот случай невозможен, так как радиус не может быть отрицательным. 2) $3 - R_2 = -5$, откуда $R_2 = 3 + 5 = 8$. Этот случай возможен. Поскольку расстояние от центра $O$ до центра $A$ ($d=5$ см) больше радиуса первой окружности ($R_1=3$ см), точка $A$ находится вне данной окружности. Следовательно, для внутреннего касания искомая окружность должна быть больше и содержать в себе данную окружность. Радиус $R_2=8$ см удовлетворяет этому условию.
Ответ: 8 см.