Номер 6, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Наибольшее и наименьшее расстояние от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — ее радиус, а $P$ — данная точка, расположенная вне окружности. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки $P$ до точек окружности находятся на прямой, проходящей через точку $P$ и центр окружности $O$.

Обозначим расстояние от точки $P$ до центра окружности $O$ как $d$.

Наименьшее расстояние от точки $P$ до окружности, $d_{min}$, равно разности расстояния от $P$ до центра $O$ и радиуса $R$. Это расстояние до ближайшей к $P$ точки на окружности, которая лежит на отрезке $PO$.
Математически это можно записать так: $d_{min} = d - R$.

Наибольшее расстояние от точки $P$ до окружности, $d_{max}$, равно сумме расстояния от $P$ до центра $O$ и радиуса $R$. Это расстояние до самой дальней от $P$ точки на окружности, которая также лежит на прямой $PO$.
Математически это можно записать так: $d_{max} = d + R$.

Согласно условию задачи, нам даны значения этих расстояний:
$d_{max} = 50$ см
$d_{min} = 20$ см

Мы можем составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными ($d$ и $R$):
1) $d + R = 50$
2) $d - R = 20$

Для нахождения радиуса $R$ можно вычесть второе уравнение из первого:
$(d + R) - (d - R) = 50 - 20$
$d + R - d + R = 30$
$2R = 30$
$R = \frac{30}{2}$
$R = 15$

Таким образом, радиус данной окружности равен 15 см.
Для полноты решения найдем и расстояние $d$ от точки до центра, сложив два уравнения системы:
$(d + R) + (d - R) = 50 + 20$
$2d = 70$
$d = 35$ см.
Проверка: наибольшее расстояние $35 + 15 = 50$ см, наименьшее расстояние $35 - 15 = 20$ см. Условия задачи выполняются.

Ответ: 15 см.