Номер 5, страница 8 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Точка $A$ расположена вне окружности радиуса $R$ и удалена от центра $O$ этой окружности на расстояние $d$. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек данной окружности?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ находится вне окружности на расстоянии $d$ от центра $O$. Это означает, что $AO = d$, и так как точка $A$ вне окружности, то $d > R$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее расстояние от точки $A$ до произвольной точки $B$ на окружности.

Рассмотрим прямую, проходящую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая пересекает окружность в двух токах. Обозначим их $B_1$ и $B_2$. Пусть точка $B_1$ лежит между точками $A$ и $O$, а точка $O$ лежит между точками $A$ и $B_2$.

Наименьшее расстояние
Наименьшее расстояние от точки $A$ до окружности будет до точки $B_1$, которая является ближайшей точкой пересечения прямой $AO$ с окружностью. Расстояние $AB_1$ можно найти, вычтя из расстояния $AO$ радиус окружности $OB_1$:
$AB_1 = AO - OB_1 = d - R$.
Чтобы доказать, что это действительно наименьшее расстояние, возьмем любую другую точку $B$ на окружности и рассмотрим треугольник $AOB$. По неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше или равна длине третьей стороны: $AB + OB \ge AO$.
Так как $OB = R$ (радиус) и $AO = d$, получаем:
$AB + R \ge d$
$AB \ge d - R$
Это означает, что расстояние от точки $A$ до любой точки $B$ на окружности не может быть меньше, чем $d - R$. Равенство достигается только тогда, когда точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой, и точка $B$ находится между $A$ и $O$, что соответствует нашей точке $B_1$.
Ответ: $d - R$.

Наибольшее расстояние
Наибольшее расстояние от точки $A$ до окружности будет до точки $B_2$, которая является наиболее удаленной точкой пересечения прямой $AO$ с окружностью. Расстояние $AB_2$ можно найти, сложив расстояние $AO$ и радиус окружности $OB_2$:
$AB_2 = AO + OB_2 = d + R$.
Чтобы доказать, что это действительно наибольшее расстояние, снова рассмотрим треугольник $AOB$ для любой точки $B$ на окружности. По неравенству треугольника: $AB \le AO + OB$.
Так как $AO = d$ и $OB = R$, получаем:
$AB \le d + R$
Это означает, что расстояние от точки $A$ до любой точки $B$ на окружности не может быть больше, чем $d + R$. Равенство достигается только тогда, когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, и точка $O$ находится между $A$ и $B$, что соответствует нашей точке $B_2$.
Ответ: $d + R$.