Номер 11, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и больше суммы их радиусов $R_1$ и $R_2$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояние между точками, расположенными на данных окружностях.

Наименьшее расстояние
Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно $d$. По условию, $d > R_1 + R_2$, что означает, что окружности не пересекаются и одна не лежит внутри другой.
Чтобы найти наименьшее расстояние между точками, расположенными на этих окружностях, рассмотрим прямую, проходящую через центры $O_1$ и $O_2$. Эта прямая пересекает первую окружность в двух точках, а вторую — также в двух. Выберем те точки пересечения, которые лежат на отрезке $O_1O_2$. Обозначим их $A_1$ на первой окружности и $A_2$ на второй.
Точка $A_1$ находится на расстоянии $R_1$ от центра $O_1$, а точка $A_2$ — на расстоянии $R_2$ от центра $O_2$. Расстояние между точками $A_1$ и $A_2$ будет равно расстоянию между центрами $d$ минус радиусы обеих окружностей. Любая другая пара точек на окружностях будет находиться на большем расстоянии (согласно неравенству треугольника).
Следовательно, наименьшее расстояние равно:$L_{min} = d - R_1 - R_2$
Ответ: $d - R_1 - R_2$.

Наибольшее расстояние
Наибольшее расстояние также будет достигаться на точках, лежащих на прямой, которая проходит через центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Однако на этот раз нужно выбрать точки пересечения $B_1$ и $B_2$, которые лежат на этой прямой по разные стороны от отрезка $O_1O_2$.
Точка $B_1$ на первой окружности и центр $O_1$ лежат по разные стороны от центра $O_2$. Аналогично, точка $B_2$ на второй окружности и центр $O_2$ лежат по разные стороны от центра $O_1$.
Расстояние между такими точками $B_1$ и $B_2$ будет складываться из трех отрезков: радиуса первой окружности $R_1$ (расстояние $B_1O_1$), расстояния между центрами $d$ (расстояние $O_1O_2$) и радиуса второй окружности $R_2$ (расстояние $O_2B_2$).
Следовательно, наибольшее расстояние равно:$L_{max} = R_1 + d + R_2$
Ответ: $d + R_1 + R_2$.