Номер 17, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Постройте треугольник по трем данным сторонам.

Решение задачи на построение треугольника по трем сторонам с помощью циркуля и линейки традиционно включает четыре этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Пусть даны три отрезка с длинами $a$, $b$ и $c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен, и его стороны равны заданным отрезкам: $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$. Если зафиксировать сторону $AB$ на плоскости, то вершина $C$ должна одновременно удовлетворять двум условиям: находиться на расстоянии $b$ от точки $A$ и на расстоянии $a$ от точки $B$. Геометрическое место точек, удаленных от $A$ на расстояние $b$, — это окружность с центром $A$ и радиусом $b$. Аналогично, геометрическое место точек, удаленных от $B$ на расстояние $a$, — это окружность с центром $B$ и радиусом $a$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения этих двух окружностей.

Построение

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую и отмечаем на ней точку $A$.

2. Раствором циркуля, равным длине отрезка $c$, откладываем на прямой от точки $A$ отрезок $AB$.

3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $b$.

4. Из точки $B$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным длине отрезка $a$.

5. Точку пересечения построенных дуг обозначаем буквой $C$.

6. Соединяем отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, длина стороны $AB$ равна $c$. Точка $C$ находится на окружности с центром в $A$ и радиусом $b$, поэтому $AC = b$. Также точка $C$ находится на окружности с центром в $B$ и радиусом $a$, поэтому $BC = a$. Таким образом, стороны треугольника $ABC$ равны заданным длинам $a, b, c$. Построение выполнено верно.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если построенные дуги окружностей пересекаются. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны.

Это выражается системой неравенств:
$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Возможны следующие случаи:
1. Если неравенство треугольника выполняется: дуги пересекаются в двух точках ($C$ и $C'$), симметричных относительно прямой $AB$. Полученные треугольники $ABC$ и $ABC'$ равны, поэтому решение считается единственным (с точностью до конгруэнтности).

2. Если сумма длин двух сторон равна третьей (например, $a + b = c$): дуги касаются в одной точке, лежащей на отрезке $AB$. В этом случае треугольник является вырожденным, так как все его вершины лежат на одной прямой.

3. Если сумма длин двух сторон меньше третьей (например, $a + b < c$): дуги не пересекаются, и построение треугольника невозможно. Задача не имеет решения.

Ответ: Треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для данных длин сторон $a, b, c$ выполняется неравенство треугольника: длина каждой стороны меньше суммы длин двух других. Если это условие выполнено, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.