Номер 15, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Постройте середину заданного отрезка.

Задача построения середины отрезка является одной из классических задач на построение с помощью циркуля и линейки. Для ее решения необходимо выполнить последовательность шагов, основанных на свойствах равнобедренных треугольников и окружностей.

Дано:

Задан произвольный отрезок $AB$.

Построить:

Точку $M$, которая является серединой отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

Построение:

1. Устанавливаем раствор циркуля на произвольный радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$. Точная длина радиуса не важна, главное, чтобы выполнялось условие $R > \frac{1}{2}AB$.

2. Помещаем острие циркуля в точку $A$ и проводим дугу окружности радиусом $R$.

3. Не меняя раствора циркуля, помещаем его острие в точку $B$ и проводим вторую дугу окружности тем же радиусом $R$.

4. Две построенные дуги пересекутся в двух точках, расположенных по разные стороны от отрезка $AB$. Обозначим эти точки пересечения как $P$ и $Q$.

5. С помощью линейки соединяем точки $P$ и $Q$ прямой линией.

6. Точка, в которой прямая $PQ$ пересекает отрезок $AB$, и будет его серединой. Обозначим эту точку как $M$.

Доказательство:

Чтобы доказать, что точка $M$ действительно является серединой отрезка $AB$, рассмотрим треугольники, образовавшиеся в результате построения.

Рассмотрим треугольники $\triangle APQ$ и $\triangle BPQ$.
- Сторона $AP$ равна стороне $BP$ ($AP = BP = R$), так как обе являются радиусами окружностей, построенных с одинаковым раствором циркуля.
- Сторона $AQ$ равна стороне $BQ$ ($AQ = BQ = R$) по той же причине.
- Сторона $PQ$ является общей для обоих треугольников.
Следовательно, $\triangle APQ = \triangle BPQ$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle APQ = \angle BPQ$. Поскольку точка $M$ лежит на прямой $PQ$, то $\angle APM = \angle BPM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle APM$ и $\triangle BPM$.
- Сторона $AP$ равна стороне $BP$ ($AP = BP = R$) по построению.
- Сторона $PM$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle APM$ равен углу $\angle BPM$, как было доказано выше.
Следовательно, $\triangle APM = \triangle BPM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников $\triangle APM$ и $\triangle BPM$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно $AM = BM$. Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AB$ на две равные части, то есть является его серединой. Построение выполнено верно.

Ответ: Точка $M$, полученная как пересечение отрезка $AB$ и прямой, проходящей через точки пересечения двух вспомогательных окружностей, является искомой серединой отрезка $AB$.