Номер 12, страница 9 - гдз по геометрии 8 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Пусть А и В — точки плоскости. Укажите геометрическое место точек С, для которых:

а) $AC = BC$;

б) $AC > BC$;

в) $AC < AB$.

а) Условие $AC = BC$ означает, что точка $C$ находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $B$.

По определению, геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется срединным перпендикуляром к отрезку.

Ответ: Срединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

б) Условие $AC > BC$ означает, что точка $C$ находится дальше от точки $A$, чем от точки $B$, или, что то же самое, точка $C$ ближе к точке $B$, чем к точке $A$.

Срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (множество точек, где $AC=BC$) делит плоскость на две открытые полуплоскости. В одной из них выполняется неравенство $AC < BC$ (это полуплоскость, содержащая точку $A$), а в другой — неравенство $AC > BC$ (это полуплоскость, содержащая точку $B$). Поскольку нас интересуют точки, более близкие к $B$, искомым геометрическим местом является полуплоскость, содержащая точку $B$. Граница полуплоскости (сам срединный перпендикуляр) не включается, так как неравенство строгое.

Ответ: Открытая полуплоскость, ограниченная срединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и содержащая точку $B$.

в) Условие $AC < AB$ означает, что расстояние от точки $C$ до точки $A$ меньше фиксированного расстояния между точками $A$ и $B$.

Пусть $R = AB$ — длина отрезка $AB$. Тогда условие можно записать как $AC < R$. Множество точек, расстояние от которых до центра $A$ меньше радиуса $R$, представляет собой внутреннюю область круга. Центром этого круга является точка $A$, а его радиус равен длине отрезка $AB$. Граница круга, то есть окружность с центром в $A$ и радиусом $R=AB$, не включается в искомое множество, так как неравенство строгое.

Ответ: Внутренняя область круга (или открытый круг) с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.